试证明下列命题：设 [tex=6.143x1.357]EqItgFetdjuDHVHi1rolxx8SOP/WVLSQA14rviOlr4s=[/tex] 是无上界开集, 则存在 [tex=2.214x1.214]5R+vkuuBqoy9bg5ntuRMGg==[/tex],使得 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 包含无穷多个形如 [tex=4.429x1.357]dHbxyMgT/mRVH8O4WLaX5cTu+dorvCOzo0FErrZ+GAg=[/tex] 之点.

2022-07-25

试证明下列命题：设 [tex=6.143x1.357]EqItgFetdjuDHVHi1rolxx8SOP/WVLSQA14rviOlr4s=[/tex] 是无上界开集, 则存在 [tex=2.214x1.214]5R+vkuuBqoy9bg5ntuRMGg==[/tex],使得 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 包含无穷多个形如 [tex=4.429x1.357]dHbxyMgT/mRVH8O4WLaX5cTu+dorvCOzo0FErrZ+GAg=[/tex] 之点.

答案：

(i) 若[tex=4.143x1.214]AQJs8y3tAsfjzL1qPewMYw==[/tex],则易知存在 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex],使得[tex=8.643x3.286]KLHK7nE9ulc6fm7iFUMaYirQsAg7IngnyAPuimqJVH9qvgHz2WlLAjxG1q2Y38WHeLYzP78cn+ZeDEeNwGwsyA==[/tex].(ii) 对[tex=2.357x1.071]6v1g7BfpY+4L8AnmU8sXXQ==[/tex], 依题设知存在 [tex=3.786x1.357]u4TGaFmZnzIac/cX+34moxgp0Etf7M+UN24ZTEHJA8o=[/tex], 以及自然数 [tex=8.714x1.214]+i7PcOMD/Vibu+9XNScTLis9ffq904px+BN9PKGv7DVjQskJcE/iGKs/qp0zkpMR[/tex]. 因此,存在闭区间 [tex=6.0x1.357]Ti5jNZHbhqQ1cJLRkzR08RQvPhuHpp0XX/w6ZmFK3PavCNJetmfZ8TZ5+kflFU5Q[/tex], 使得[tex=13.571x1.286]BufmIIYGHT3cnbhElvu4NS9seN4PNx/JZCc14v6P31MNGzMs9Np1wY4ckJFDXFfm5HdZRWrUotvLd/iaIyks0A==[/tex].再以 [tex=2.714x1.357]Ti5jNZHbhqQ1cJLRkzR08dXu9JWUmnTcMBWkEADD6UI=[/tex] 替换[tex=2.0x1.357]zos2gyzfS3ECuhAVVyX3fF2+8nJ2+IWO7IBxw+vgwWs=[/tex] 的角色,以 [tex=1.0x1.0]keoWssVvFvI42Lgp0VxVMw==[/tex] 替换 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的角色,重复上述推理过程,可得[tex=20.143x1.357]FDDXBYdiiOWqPM1XZLvIWuODFU9KCxGUmnu2WcOd8AO+TnnrINHncE9vNJP0Am+cx06xMrnnq6YmMLKAE/aQ/uedIr7RZ42BmLYmkgpbTDjuRyd6uzH7GW5iZmJr0PGWs/y/2bASaoYJhcdos5f+8hVyxZSwgCf64RPop71WIEI+5nScxfmBvJ9mXiDsW4sC[/tex].继续这一过程,我们有闭区间套列 [tex=4.286x1.357]4/QAamWOdy+KMtobW9X2Y7dlZ3H9EvAV3NLsB+lMNImNKBUN7S2jhLCWA/pJGP8q[/tex] 其公共交点即为所求.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群. 假设对于任意的[tex=2.0x1.071]vWZfluFOSO3YQwS1PayuCw==[/tex]都有[tex=2.214x1.214]oha7wOCx8qXgzV+bBd/Ktw==[/tex], 证明:[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是交换群.
1
设A是度量空间(X,d)的紧致子集，则存在[tex=2.214x1.214]2z7HKYKqIKq8ysXEXi8N9A==[/tex]使得d(x,y)=d(x,A)
2
证明定理[tex=1.786x1.0]4DgM86TLEdT+SY2szxku8A==[/tex] 的(5)，即设[tex=0.786x1.0]cj+ar+3r72WJpbnL/JXCXA==[/tex]为群，证明:[br][/br][tex=1.286x1.357]VHgv8yVrrSZwLqu1l6FPnQ==[/tex]若[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 为交换群,则[tex=5.143x1.357]t48K1M+FNgLFpJU7RDyhapE7S+wfDVpNrHVUOvLxSpI=[/tex]
3
证明：若群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中每一个元素都适合方程 [tex=2.214x1.214]jX6m6TY3vI6QWjhU0nwLtg==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是交换群。
4
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群, [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群,[tex=4.429x1.357]QrGX9k/yXcYyLBPJOQ7lzg==[/tex], 试明 :对于任意的[tex=2.0x1.071]vWZfluFOSO3YQwS1PayuCw==[/tex] 都有[tex=3.071x1.071]ZyhRHnleKzhlMlViaqaNug==[/tex]