设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是非空集合, “."是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的一个代数运算且适合结合律.(1) 证明: [tex=2.143x1.357]kEczID9Pt4ItYwOqbKjMvA==[/tex]是一个群当且仅当对于任意的[tex=2.857x1.214]sSIApBg6OzoLyhTiB5OMxw==[/tex], 方程[tex=3.071x1.0]Qlnl7DNF35MBGJR2KizZiA==[/tex]和 [tex=3.0x1.214]ZCfK1l3RDW3KGNtluzrejw==[/tex]在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中都有解.(2) 假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限集, 证明: [tex=2.143x1.357]kEczID9Pt4ItYwOqbKjMvA==[/tex]是一个群当且仅当“."适合消去律.
举一反三
- 设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群，试证：当且仅当[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex]时，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的伴随作用可递。
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群，试证：当且仅当[tex=4.571x1.357]Cfp84m7VnW4dk+f1tg/L9w==[/tex]时，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的伴随作用有效。
- 设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个具有乘法运算的非空有限集合。证明: 如果 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 满足结合律， 有左单位元，且右消去律成立，则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个群。
- 证明可解群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有合成序列当且仅当[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群。