设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].

2022-10-27

设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].

答案：

证：若对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都有[tex=4.643x1.286]9Qc6n/f94tRCE9BE4najoEEnOVJa/Zt3Mts76D6GP8c=[/tex]当然[tex=4.571x1.357]trwusf2Wr8Bmg0y0huedwd/2LiUIP7jQ5ZKdzVSNKWg=[/tex]所以[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群.反之，设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个特征子群，但[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任一自同构，则有[tex=4.357x1.357]trwusf2Wr8Bmg0y0huedwVaOOj/hKrWBe5RkxhkdFRg=[/tex]. 又因[tex=1.571x1.214]Lpzn9VRyvhKYZEyTGhvlUA==[/tex]也是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的自同构，故又有[p=align:center][tex=15.286x1.571]XeW73Xbmb3AEQdkImADvEbggojkA3WkdZDIeDKx/VMX0iaNEeHKhOqzKmX0Kus+Vu4vVg5Y9LQf9PXg78gfe8U1SUZppT6C2+ZJQKMW6bkFlV32UmlB3EhrFa5uWl3kO[/tex]进而[tex=4.571x1.357]0NfymIrGRy3+e1NA5fi+75G8oMfGELvOE07JEfmIJ50=[/tex]所以[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].

举一反三

内容

0
设 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的固定元素，[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。证明群[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]与群 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex]同构。
1
设[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex]，[tex=0.786x1.0]EsJDtGYVBcAkNM+hi9jDJg==[/tex]为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群且[tex=4.929x1.357]W5SI+V/Ykf5VFGgvg55aNA==[/tex]，证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]与[tex=6.929x1.357]5QJWC7+XwfurN5BXLfL2dcXNdbP4kICK9Uoho98wlT8=[/tex]的一个子群同构。
2
设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群. 证明: 如果 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的任一个左陪集也是它的一个右陪集, 则 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的正规子群.
3
设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。证明: 对任意的[tex=2.214x1.214]0WCgI4jFSd+EieBjN1GRQw==[/tex] 集合[p=align:center][tex=10.286x1.571]t+aPDzqN/g0SVlY2BoF7BzQr9jAmILOKThunRonOjFykRD5WIsUJq1mzTAa8HZrPUrIYOjVoKoOZzSOM0yprSw==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群。
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称群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中元素[tex=3.786x1.214]sfy2nrDugnEJMhuNczpd9izk6oGEL5DbFUEdSVDltEM=[/tex]为元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]与[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]的换位元，证明：由 $G$ 中所有换位元生成的子群[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个正规子群；