若曲面\(\sum\)为平面\(x = 0,y = 0,z = 0\)及平面\(x + y + z = 1\)所围成的四面体的整个边界曲面,则曲面积分\(\int\!\!\!\int\limits_\Sigma {xyzdS = {1 \over {40}}} \) 。
举一反三
- 若曲面积分\(\int\!\!\!\int\limits_\sum {f(x,y,z)dS = 6} \),且\(\int\!\!\!\int\limits_\sum {G(x,y,z)dS = 3} \),则\(\int\!\!\!\int\limits_\sum {[f(x,y,z) + G(x,y,z)]dS = } \) 。 ______
- 设$S$为平面$x=y=z=0$, $x=y=z=1$所围的四面体表面并取外侧为正向, 则第二型曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S xydydz+yzdzdx+zxdxdy=$$ A: $\frac{1}{8}$ B: $\frac{1}{4}$ C: $1$ D: $\frac{3}{2}$
- 由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6-z截得的立体体积为( )。
- 曲面F(x,y,z)=0和曲面G(x,y,z)=0的交线方程可写为: F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.
- 设$S$为$x=y=z=0$, $x=y=z=a$平面所围的正方体并取外侧为正向, 则第二型曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S y(x-z)dydz+x^2dzdx+(y^2+xz)dxdy=$$ A: $0$ B: $\frac{a^4}{2}$ C: $a^4$ D: $\frac{3a^4}{2}$