设$S$为平面$x=y=z=0$, $x=y=z=1$所围的四面体表面并取外侧为正向, 则第二型曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S xydydz+yzdzdx+zxdxdy=$$
A: $\frac{1}{8}$
B: $\frac{1}{4}$
C: $1$
D: $\frac{3}{2}$
A: $\frac{1}{8}$
B: $\frac{1}{4}$
C: $1$
D: $\frac{3}{2}$
举一反三
- 设$S$为$x=y=z=0$, $x=y=z=a$平面所围的正方体并取外侧为正向, 则第二型曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S y(x-z)dydz+x^2dzdx+(y^2+xz)dxdy=$$ A: $0$ B: $\frac{a^4}{2}$ C: $a^4$ D: $\frac{3a^4}{2}$
- 设$S$为单位球面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧, 利用高斯公式计算闭曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S yzdydz+zxdzdx+xydxdy=$$ A: $0$ B: $\frac{4}{3}\pi$ C: $\pi$ D: $1$
- 4.已知二元函数$z(x,y)$满足方程$\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial x\partial y}=x+y$，并且$z(x,0)=x,z(0,y)={{y}^{2}}$，则$z(x,y)=$（ ） A: $\frac{1}{2}({{x}^{2}}y-x{{y}^{2}})+{{y}^{2}}+x$ B: $\frac{1}{2}({{x}^{2}}{{y}^{2}}+xy)+{{y}^{2}}+x$ C: ${{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}+x$ D: $\frac{1}{2}({{x}^{2}}y+x{{y}^{2}})+{{y}^{2}}+x$
- (7). 设平面区域 \( D \) 由直线 \( y=\frac{1}{x} \) 及直线 \( y=0,x=1,x=e^2 \) 所围成，二维随机变量 \( (X,Y) \) 在区域 \( D \) 上服从均匀分布，则 \( X \) 的边缘概率密度在 \( x=2 \) 处的值为（ ）。 A: \( 1 \) B: \( \frac{3}{4} \) C: \( \frac{1}{2} \) D: \( \frac{1}{4} \)
- 已知随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布$N(1,0;9,16;-\frac{1}{2})$，则$Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$的数学期望和方差分别为 A: $\frac{1}{2};3$ B: $\frac{1}{3};3$ C: $\frac{1}{3};11$ D: $\frac{1}{2};11$