若函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析且 [tex=2.357x1.357]KEiMIAvyrkZGZKzIEmVEbA==[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内为常数,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内必为常数 .

2022-07-28

若函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析且 [tex=2.357x1.357]KEiMIAvyrkZGZKzIEmVEbA==[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内为常数,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内必为常数 .

答案：

证 设 [tex=9.5x1.357]V8B5MzP6n3pNEUxtCgpYSMZw2KaDlNPXFOwkRCPQUAcY36O1p+eW/R0XUm8sC9RT[/tex]则[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析[tex=2.786x1.0]bMRrINhuwlMbjrHDeWypojr15PwWtQLFAla5b70Ahi4=[/tex]在 [tex=0.857x1.0]nFZS78e5wCWJ2ZClZqqa4Q==[/tex]内可微且满足柯西 一 黎曼方程[tex=9.5x2.643]aoAtmkWSHYklGULM9bBrEsOMAO30ThCD/TjwVcMa+ethFRu4wdwtxLn6Q2pfVBhTuTyVb3XOr+lcovQKRCyhR5DwgXmVvw2Z+6NukcOiKy+wVwiYb++BVHR49cRF3aAyx/Go/7luLKHp6xsMeRIYkdiIq1kxXqMhk9fDHXX4gfxf0j5oxbMRtj0K/CmIhZYZ[/tex]再知 [tex=4.214x1.357]NBg2vZNtJk5iNlhQpOWWLA==[/tex] 常数 [tex=3.714x1.357]YT5W98IEpGV1LRfOoK+a0Q==[/tex], 则有 [tex=4.929x1.429]fi4IuT21dIlW6oTt3lpl9xDs6zZu6u6bJjqvddlWsZg=[/tex] 两边分别对 [tex=1.357x1.0]rH/psQeHXPbNOMbaRKMNqQ==[/tex] 求偏导得[tex=8.357x5.5]GE56u9QCDTqcLxZ66HADyg7ql6i5+Z/kO8Q0C8T4hefLXkd9Os9y2zNtUosNuyY03M6Bidxm9SPBpz4G1VwEmewXrtX0GMJLHcxwxqeIxvjL+dZ8/Ipmlcr+V+pFVQKyt2d6GX/4KRntZZc33E5QWKq/Gv5TUB5BcoHHKpdjX6zDNFIASDkuJNvnLLIGQfVFKswjVRf5vRW6qOftundXzCPOPsr5a+uSIZI/nUHCAuZ9OR5R9pJrk4ojTHRZvjzA[/tex]结合柯西 一 黎曼方程知[tex=9.143x5.214]GE56u9QCDTqcLxZ66HADyg7ql6i5+Z/kO8Q0C8T4hefLXkd9Os9y2zNtUosNuyY03M6Bidxm9SPBpz4G1VwEmewXrtX0GMJLHcxwxqeIxvjL+dZ8/Ipmlcr+V+pFVQKyjt91xfLdknObys1gg1gOLiqKs/3SCRGhpp5K4VHpSNBaY/QsOiLHxkRbDliKdq1K9PHHzzEW7pqRLA89K0X2w9zB6LaLHyqveFYa4MGHjtKo+amDi+v25aXeed95Fz3e[/tex]此方程组的系数行列式为[tex=10.5x2.214]TIwZYBkNsy31H1RNd/OloGDczqPP+sVCRReQZjTsn5/IvHhU5+YGfVcyz5zEvVBo1K0JAvHN44Z26FeqAqmkUbN2uD3el1bFWkESfGumWnYlUZNxmr0aFSuRX4iVKtAR[/tex]若[tex=6.214x1.429]fi4IuT21dIlW6oTt3lpl94dt17RqB1NtPjuOCmOWDf8=[/tex] 则[tex=4.0x1.214]oXlCiauvt4BnFprwg8aFfg==[/tex]即 [tex=7.143x1.357]r8RbQ0VEbbA9qoyGBNFl7vLVyvKODeyfotzftwyso6s=[/tex]若[tex=6.714x1.429]fi4IuT21dIlW6oTt3lpl93TwE6g8+qo/dVC5gs/ghyw=[/tex]则上面方程组只有实解,即[tex=5.571x2.429]aoAtmkWSHYklGULM9bBrEsOMAO30ThCD/TjwVcMa+ethFRu4wdwtxLn6Q2pfVBhT4ZjzX6jEmFG4iOSWQ3KQAKe5gYI8WE0uJeLBAy5r8oI=[/tex]再结合柯西一黎曼方程得[tex=10.357x2.643]aoAtmkWSHYklGULM9bBrEsOMAO30ThCD/TjwVcMa+euUhdRQpvXjgEyxBjZpb2NkicqkwzQsSxC9C///SJblaTLLZkX5uqoSAdPc45cl+uDqmHYqwUJ1FMiabTApsimX7FPakq2uqAGgIZKBMrqJ4aMqaGt3EGCmjn+jhqSCOU4=[/tex] 又因[tex=1.571x1.0]FUNbld5RSOmdxhPOQm2z3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内可微,故在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内有[tex=10.5x5.643]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpPWYBVuukNqgs92pOvN8L7lTJPWSCA9rBvWB9OlQumsLqeCMx1rCAsTFCiLMKTQTkSLwdx/vME/GrHmECay+hJShmUMNe1Bsd2AYVoZnI5oFFgVkSLsSY9ba0Mykh7SmOZrLS02lKRj1YJHdQge/5pafLVVS1/zpgLnciDzdDMFvtxH6km07tqoHH8BsXm8IRJAny6CCkZ+CbBqgUorZrMrIsEpFbrXrstLBqgSuKOrTuydr3LwvIIhIg2BPfr6pIbftFCG1A9VtPrn1jAfHpF5iKDqZvIHq1WmGt+CVt2Yu[/tex]从而在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 与 [tex=0.5x0.786]pmD1JbahT9zMRAbBNi045A==[/tex] 均为常数, 这样 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内也必为常数.

举一反三

内容

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若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数. [tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析;
1
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数.[tex=3.357x1.357]9yrqPlAZal6st8/wp2Wd1w==[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内为常数;
2
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析, 且满足[tex=2.286x1.214]RRP8eUK/dGSwgdOSsCTx8g==[/tex],试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必为常数.
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如果函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析，且满足下列条件,求证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内必为常数.[tex=4.143x1.357]b0C5CACSKy8n7lCAOAB4P+QzvRr3YpOsM/72pDR/eq4=[/tex] 或 [tex=3.357x1.357]9yrqPlAZal6st8/wp2Wd1w==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内恒为常数
4
如果函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析，且满足下列条件,求证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内必为常数.[tex=3.571x1.357]L/iSyHQqp/Mxc02EXe9DWJ9wNabDccWBlJcMazy6+Gg=[/tex] 为实值函数.