证明: 如果函数 [tex=4.714x1.357]ntwd9SnbwzOsgm8kiKUlNg==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析,并满足 [tex=2.357x1.357]KEiMIAvyrkZGZKzIEmVEbA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内是一个常数, 那么 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 是常数.

2022-07-28

证明: 如果函数 [tex=4.714x1.357]ntwd9SnbwzOsgm8kiKUlNg==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析,并满足 [tex=2.357x1.357]KEiMIAvyrkZGZKzIEmVEbA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内是一个常数, 那么 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 是常数.

答案：

由于 [tex=2.357x1.357]KEiMIAvyrkZGZKzIEmVEbA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 中为常数.所以 [tex=3.857x1.357]mlwP8gFy2Tc0NYTiKgCDvw==[/tex], [tex=0.5x0.786]H94ItHP9PspVDDqF8nLRWA==[/tex] 为一常数. 求偏导,有:[tex=10.357x5.5]7EJHVCtO2IWq3KpdB+jQsqDz5/Ff04qw8ouBb6A0WFPs+6XauebRwenSTMIL86r9D8U5N/FNem0fY4VWVVyLtkAbcJtfgEyz7NqZW52bkAncGy3knwEL9T5x8VR6wVVPC/AS+sHmcahrNruJiWiAr0hLGmMPBXJncO87SUtLE9iXwzm8edDQcC+ly2HmqbipY9VTHfkDOfL7i/xpLgAEoOZqHvnHCX4j9A3LJQGSr7XNMbUPnT314w5p8yHqLpqsYPPocpQXir02lXKqqIBceQ==[/tex]由柯西-黎曼方程, [tex=9.5x2.643]9tO/e5DyKRkzg0MpCtFEorxsYgY9NTXGHrOpUXmjFzEB9dWE5Nmh7iCS3xqreFggchZdh3lFWD/yjZKJgpMXXKmqgwTVQnFzFxyl78W0JK6Ci5MwSNH8G6E1fgvX6vOqU7xDnOgAzbeenDdI/JfLcYshI8WuTvX+DTrNAVqIFFo=[/tex][tex=14.214x2.429]vQgBowM5E1kShJ8sTsnGQvByc+mCIj1610iNa1MkxXIWMQ2YRITV+42tP46ScvUrSG3V0sXKWe+/PCxSla+q3JJ0DoxRCav+RM1QYcL+8HaCWpUCuXpxRKCv1yp5+5jfvGRuIVxJKqPZl8MgXaJsQg89IH0z3VeAcYuu2yUf5NM=[/tex],[tex=14.643x2.429]v0no2x9s6yJij8GJNtl939Uln7RStaacKltafRu6pKol2dPZc+RL8H+DhCMn2mMP+irJwvyXHdjo9DEYrPbWea5/qSejqONGLRDFRKxSumpNa6cTJkkupLafqhMHSFTFc3iMdwlja7YPFUvKH6L1ZdOFmaF0ND9Blqgl8IkEHas=[/tex],若常数 [tex=1.714x1.0]KsdsXiz3TIoOwg7hgNuJBA==[/tex], 则由于 [tex=1.571x1.0]Smo7PM03WBGUYmy6Gq0PDA==[/tex] 取实数值,所以 [tex=3.143x1.0]N8kIPVJt7QUfVNDxp2VSCg==[/tex], [tex=1.786x1.357]ccR+Ju7a5UCCYTcG5Ea7BA==[/tex] 为常值0 . 若常数 [tex=2.286x1.214]OggZ4FPbHnwn3k+w+7vtVw==[/tex], 则由上式有: [tex=5.286x2.429]aoAtmkWSHYklGULM9bBrEsOMAO30ThCD/TjwVcMa+ethFRu4wdwtxLn6Q2pfVBhT//m/EBt0h/0lhXjtSkmRjQ==[/tex], 从而 [tex=1.571x1.0]Smo7PM03WBGUYmy6Gq0PDA==[/tex] 的四个偏导数均恒为 0, 所以,在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 中 [tex=1.571x1.0]Smo7PM03WBGUYmy6Gq0PDA==[/tex] 取常数值, [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 也取常数值.

举一反三

内容

0
若函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,且满足条件在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内[tex=3.357x1.429]WJT7Xk2N4K3slg6ZvXy4AU6JlmMPrG02pWlFhfUp5fc=[/tex],试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内必为常数.
1
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析, 且满足[tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析,试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必为常数.
2
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数.[tex=3.357x1.357]9yrqPlAZal6st8/wp2Wd1w==[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内为常数;
3
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数. [tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析;
4
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析，且满足下列条件之一，试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数。(1)[tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析；(2[tex=2.286x1.214]Zc3Hoxfo3CINZgKNZPMB7w==[/tex]。