证明：数域[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]上可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵.

2022-06-26

证明：数域[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]上可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵.

答案：

证明：设[tex=3.571x1.357]aVLZXZOyFvu0YW8S/Fna3xaGJnoK5u4oKwxFaralEcU=[/tex]是数域[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级可逆上三角矩阵，则[tex=8.357x1.214]Ecxm77LnWENvEpBc7KygqT6kH1cFNM3URQpwuQn2a8Oh+4jqTRfmJLPXUFlUm8hK[/tex].于是通过第[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]行乘以[tex=7.429x1.5]I2tiSBB1iX8peXfrWQtFly+HNIaJOLzavMqv0NZmFZw=[/tex]，以及第[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]行的适当倍数分别加到第[tex=6.214x1.214]VXzmeTqtZsSvu5aqpRFZHHZ/UuxTAaOBdrKABudSIaU=[/tex]行上[tex=8.143x1.357]yRghczm8Mk14GTdPRwlRVhLnmmF8/V7aZ9qRuyZU5AI=[/tex]，可以把[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]化成简化行阶梯形矩阵[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex].因此存在相应的初等矩阵[tex=5.714x1.214]bmKyquET/0L3k+maklNJpZ4yUtwTrAnlbeBDV89414A=[/tex]，使得[tex=7.143x1.214]iDf3GrBChj2Oxw4x715Cc0DSAOY2k2Yw3ZyZMGLLOr0=[/tex]从而[tex=7.357x1.429]X8USDLtz4+NpbfcinKwLUZQkJcLJv0p/b4y/4LYncU0=[/tex].由于[tex=1.0x1.286]uv5VYfoOzjQsK6FjePbhZg==[/tex]形如[tex=11.0x1.571]GJlu0lxVuBTgg9lrryMZGwY/BODbPg2k0v//kMqmAENLIMA8LLW6Ugp9CZzgw4v7epTA4FQYoREnQTrIjRe/yw==[/tex]，因此[tex=5.714x1.214]bmKyquET/0L3k+maklNJpZ4yUtwTrAnlbeBDV89414A=[/tex]都是上三角矩阵，从而它们的乘积[tex=1.714x1.214]d+9NDUvA5ZDrRGeFW5fxcQ==[/tex]也是上三角矩阵.

举一反三

内容

0
证明：两个上（下）三角矩阵的积仍是上（下）三角矩阵.
1
上三角矩阵的伴随矩阵仍是上三角矩阵。
2
试求上（或下）三角矩阵可逆的充要条件，并证明：可逆上（或下）三角矩阵的逆矩阵也是上（或下）三角矩阵。
3
矩阵[tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex]称为上 ( 下 ) 三角形矩阵,如果 [tex=5.0x1.357]Ade9Sc4HcQMXaf4GgAWVeQ==[/tex]时有[tex=2.643x1.286]YISFobvv49BBp1Uc/qUeoA==[/tex] 证明 :1) 两个上(下)三角形矩阵的乘积仍是上(下)三角形矩阵;2) 可逆的上 (下 ) 三角形矩阵的逆仍是上(下)三角形矩阵.
4
设数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值 [tex=5.786x1.214]oNH2de8I1XfFs1vBi4Ose/m3xb4ZXIOWJL213dkS9oZGcEJxwIaoBVvUWo01TUpn[/tex] 全在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中, 则存在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的可逆矩阵 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex], 使 [tex=3.143x1.214]Wy8xQjMsBEyjJUwCYAP+RQ==[/tex] 是上三角矩阵. 特别, 任一矩阵均复相似于某个上三角矩阵.