25. 矩阵[tex=3.571x1.357]n9szCAW9NR93NzdWHX2+SBSXYvRAO7ROAT5M25kgbpM=[/tex]称为上(下)三角矩阵, 如果当[tex=4.429x1.357]Ade9Sc4HcQMXaf4GgAWVeQ==[/tex]时有[tex=2.643x1.286]YISFobvv49BBp1Uc/qUeoA==[/tex]证明:1) 两个上 (下) 三角形矩阵的乘积仍是上 (下) 三角矩阵;2) 可逆的上 (下) 三角矩阵的逆仍是上 (下) 三角矩阵.
证 1）设[tex=21.286x5.357]sSXBpxJWudVpH1R35o4LnAUhRqj1im4mVfSmneiBYdxqz6f8HDY+EjqY7ZxmW4b6F8uMgWaq6w7i5ddhaTJda3L1TrSXlMHesTN5JilqsMBtFM7fLVaXHV2pxTEufwWQSoU2sm2cwGavT+IZCYDMozTLaQ6T/MpVk7U027/rRdFygZdjvcuQL4cFDWzBEkKwHy8uZj+Tzsq7xTK9q/RdKofqLdETPEQbIR6+6xch5A/DmHxIHnRrISvlHEMlj4+oQGLlgWgXHa9/6WHLFuju5RsfZbqL4tUtLuLJyhPJWam6My3d6shXSBrnZ/1c7wxP/Mwg8r3iM2s9AIJ/pFzbAIH/+jFnbnxJQrE71MMXl2x7vcessteeccmQG6MKuTnyZVKP3PHH8nnfQCmQJ7GNhzGL3F3eV3ouH9auRUDVWiCgaQzgbiufhiU/6baF+cEGmZ/zWAc0CUuyuELMqz2x3Q==[/tex]假定[tex=13.214x4.5]OgVntXYK4O34noTl54/1w920YFXj5gq9gA6hWTc6fTGjYf9s7Hj9pQN8F+SYy7CnqoT+oynATnwqhYCJObPG0NWzRQl7rs/buguCqiDK3Ysa5ul91wwUH8LCNOOrmHHXpg082XlzOYBWZWhJZ0cSABVtkjMYYAVtdUh5rMQle/6JlNovYfzwWODDLUMKXeiJSRBgtz8OzEIVzZjh6heKSikVu2ARJypDX2CG4F6lA0OZus1FLG1inomCp5q4/nKbGh6pnpbTjdgM/IHZdeqDjw==[/tex]其中[tex=24.357x1.286]tI+0hvIH+9Ua4g4jdfawmmAKjZS80sUCoQpDrKZOHiITUSwkOUmiGVVh3CkLD4q4RDFG9V6+honStcvjZrmyrM0q4d9sY4Ouj3bb0UK+RSP0yHhdyAp3juxBoXqN5vfAqcd/QKslbE3IQMuZgDoZjaI45YeMebXiephMSnsIL5A=[/tex]当[tex=1.571x1.214]mOF7AZybjVrR+Wa7AKdzBg==[/tex]时[tex=4.357x1.286]XHTXmG3pr4EU47nyrWwWYeTKqGC4uC06N9/bjQvItiI=[/tex] 显然 [tex=1.0x1.071]hja/e6MjOGrbaK+tKzVwHA==[/tex]中各项均有因子为零，故 [tex=2.571x1.286]HnrzUaL/tAgxzd2tAuMFYg==[/tex]所以[tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex]是上三角矩阵.对于[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]是下三角阵情形同法可证.2）令[tex=8.929x3.5]sSXBpxJWudVpH1R35o4LnBx5AB552uo2pfSG99vsZSNBl0OjADczhcCq4SPKiV28BP6dw9nb4AYpArNhAxQh1W6i7cKUFUPX1vvkcayiisJWeDtiquqYrh6+xSlwEB8GpQDuAUYBFgd2vv9xfg04qME/F+YbvCoJy69Sxjj3cSk=[/tex]设[tex=12.429x4.071]tAg4kjefm91yBdigy4ffjDJU+1E+p72eaunNpxRdnbxRc/qCCjeVzYv29N4ZDHuY82s59rcxF+h4MCpSlDws+qufjd0GquMqRhEDA/MOtUgndfG0+WHEGSbk/cpjUKIq8H8//BNj+lNVS0KQv71QxKK2OHazr0HX4yO6Y+tqlFlIM5VSegT5akwrybhz+8FJWnYxj8mWiAEMKdLgvCdWjA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 的逆，即[tex=3.071x1.0]hoWzVlIY8y8vJm6rWz3IJQ==[/tex]，比较[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]和 [tex=1.571x1.0]JLMbVw4e37VvhkU494+8Ew==[/tex]的第一列元素，有[tex=15.643x6.071]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAzxCzRolm3o8bevKQNVRWSghWovjSgh8B9XbeBtBOZHn14PHyuozEiX0X4MOkY+CxyRlZUWZZgYfGdUhvrGPQ0O3Q7bQBG5PEBFUyGOx9KqU+6HFgqsW0Q+kUUA4V5f6PdQILXOJ6IJeM9DmYcpuIlXdbltRfSvPZusdN3mWNI1aOVHugH/2af5wfNM4rg4mWj9NftXPEcl6jzM7Ezzxp4nYnKjx/cRG40OpvIGi/c+ZXFLEtmGH+zvE9GjFH50AUpT9GYKqgLsFSQ3qAcW0IrazbBSFDoIa+7wMw6961b/ap70gd3XYfeYn5WJG4DLu+xJkX8rKw4+UAnzp/F4so42ZrNojaHZWpDclN6i2yrrTB[/tex]因为[tex=3.357x1.286]++kzfxuS5o6+rSX/Wehzm6HiIUmN9SxtDnKnaW9RuMQ=[/tex]故[tex=12.357x1.286]+NnGY1OlSpvcbsPGDZO0h2h9T3gDxw/sC7ZfZck4FLsOuAFrSWhbZymmxCbOmLq5RDuXPay8z1EI2U39roDl8w==[/tex] 因而得[tex=9.857x1.286]g26pmIDCjEQDovkfjtFu5HaNWHRoph7sFZOxambtIDiwPfNe0jPJihWJUYUVIotf[/tex]同理可得: 当[tex=1.571x1.214]mOF7AZybjVrR+Wa7AKdzBg==[/tex]时[tex=2.571x1.286]cop+t4xj2oDP2vr4NP0btw==[/tex]因而[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是上三角阵.[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是下三角阵的情形同理可证.
举一反三
- 矩阵[tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex]称为上 ( 下 ) 三角形矩阵,如果 [tex=5.0x1.357]Ade9Sc4HcQMXaf4GgAWVeQ==[/tex]时 有[tex=2.643x1.286]YISFobvv49BBp1Uc/qUeoA==[/tex] 证明 :1) 两个上(下)三角形矩阵的乘积仍是上(下)三角形矩阵;2) 可逆的上 (下 ) 三角形矩阵的逆仍是上(下)三角形矩阵.
- 矩阵[tex=3.429x1.357]p/E3osFPodE/Y04UhQn/kA==[/tex]称为上（下）三角形矩阵，当[tex=5.571x1.357]cHM11juvqB8H01i0+EVlaUsS+yOhGsDLET/7ATuL72c=[/tex]时，有[tex=2.357x1.286]yIbsJBu2XFerinZQpSzm7w==[/tex]，证明：１） 两个上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；２） 可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵．
- 证明：两个[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵．
- 证明：数域[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]上可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵.
- 证明：两个上 （下）三角矩阵的积仍是上（下）三角矩阵.
内容
- 0
矩阵 [tex=3.929x1.357]n9szCAW9NR93NzdWHX2+SBSXYvRAO7ROAT5M25kgbpM=[/tex]称为上 ( 下 ) 三角形矩阵,如果[tex=5.0x1.357]Ade9Sc4HcQMXaf4GgAWVeQ==[/tex]时 有[tex=2.643x1.286]Ssa9qS/YKA4983vQurSvqA==[/tex]证明:
- 1
证明：可逆上(下)三角矩阵的逆矩阵仍是上(下)三角矩阵.
- 2
证明 : 两个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级下三角矩阵的乘积仍是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级下三角矩阵，并且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元的乘积.
- 3
主对角线上全是１的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵．证明：如果对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为零，那么一定有一个特殊上三角矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]使[tex=2.286x1.143]vB636PfIaAtueeIhKgyEvg==[/tex] 成对角形；
- 4
证明：两个n阶下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。