证明：两个[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵．

2022-06-26

证明：两个[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵．

答案：

【分析】：利用上（下）三角矩阵定义及矩阵乘积证明．证：假设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]都是 $n$ 阶上三角矩阵．令[tex=12.143x5.214]s4iFwJNC/D8533R68c8pxi4tPf2n/F6XFDO54n3Oy+gc8cZjpI5MDZx9wkS+2teIeId1IztBifIslbrRT/IXnJA5KUY75MgDkwuwbkIEGE+fVCNmUS/18GDnzEeZwbvLLdc68vFpqbY+4aZ8DQ0ji+MQzXocG8tIVrisRaYwcAkCs///kwCqUULHOyPyBXixmB58w6wVIJhLaIU3N44wrV/jUptajiAed62VY741BLM=[/tex]，[tex=11.929x5.357]v1JfECBfkzHchQwIKCfHhEr8BrnHZpBuMUhK4sABJdcNCIlZwpHLBZz8zaQIGfFT91Cxmtf4UBiijs+mv5sPi2HtHlm76HpbX/ip1bVx6XpCR9bEB55wIesi10+BtjHT3b+tjtHl8rSwdzDKnblCLXFBx9GISjdjxLjvkTzwb4cbJTzpqPhSQzQ7fbmm+5leHKxdQQ/esNrgJoOpqaKZqaLRv+09j6l4qdCEYUnHIjU=[/tex]，[tex=14.286x4.5]W/NM5GvEcbuGI47Ev9dBOShHeiQ4FNn0Zwhar3/Yeh5ky2J7Tmxz20CsCH0rMBXAez0gSgcDudneSPBsuHgwyXpeqOAFXXwuL8kDtwpvvTKVS1mOF3JOz/JVLhVkuFq/xHILGagOoRIPrcjAO2YHN9h7+m48SkMdGPDzzVSsrrdN6Ezrl/J0PZ91BJYd3sp6T2uSBfwDCFUXvErD3PXVP/UFzv7N8H2pa2zaSZ3hzXf1cYqF3RMo7cdsDpKpag+YxeT+HFtkAQErh31yrY2e2Q==[/tex]．由矩阵乘法知[tex=14.5x1.286]5CJQ7Hpu9Aa8jHq8CSGcEdn9Z9NljOHJ1hK9wuap9AxSfO2bp8cxqmTq7GB4/v/yUbVV8ILsCW1OZdYg1/7ms0SFk3RXTN8V/FoAMzvF/e0=[/tex][tex=5.071x2.714]huqtSlXGruInNyozEqvaMRaPsMONb8WL1wVzP6eJ0ZRIYibFAHu1NvGYq2p1IgAi[/tex][tex=7.357x1.286]56h2w7DGZZzslwcj3M/yQwhCYZMB2mGXPYuf8NfXXEg=[/tex]．由假设，当[tex=2.071x1.286]YlRzVnhBWQdwQrLjshxytQ==[/tex]时，[tex=5.429x1.286]G2944rrn2CIQWf5AEz/UVtWyULSvdQfRqlzGsr74nh0=[/tex]，故[tex=1.071x1.286]bJkM9BqvNW4wE2tSUgfliw==[/tex]中各项都含因子0，所以[tex=5.714x1.286]E0kbfaT3a/lveThOzGZw2+9I1hXOAW+t2PL7qiTp8nY=[/tex]，于是矩阵[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]为上三角矩阵．同样方法可证明[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]都是下三角矩阵的情形．

举一反三

内容

0
证明：数域[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]上可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵.
1
证明：可逆上(下)三角矩阵的逆矩阵仍是上(下)三角矩阵.
2
矩阵[tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex]称为上 ( 下 ) 三角形矩阵,如果 [tex=5.0x1.357]Ade9Sc4HcQMXaf4GgAWVeQ==[/tex]时有[tex=2.643x1.286]YISFobvv49BBp1Uc/qUeoA==[/tex] 证明 :1) 两个上(下)三角形矩阵的乘积仍是上(下)三角形矩阵;2) 可逆的上 (下 ) 三角形矩阵的逆仍是上(下)三角形矩阵.
3
若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵，证明[tex=2.929x1.286]PgI7SwgsQ9tTXWFTdkSmxw==[/tex]为对称矩阵。
4
证明：[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶数量矩阵[tex=9.929x4.071]s4iFwJNC/D8533R68c8pxvpWZ4vJALEA3Q5rJcgChDQ6lhDTOQSPQWHpiUlAopGXAQlyAl9V93UDm6G4rN1mOD4YZUzzYqjXPegpiJIVKFTDg0LEpcduEceOqjNyj66YrRkn41rEwNJ3r0a5nVLqKw==[/tex]与任意[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]可交换，即[tex=4.357x1.286]ZHtkzddb6nCZKhzGq6vKqw==[/tex]．