设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实 (复) 矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.143x1.214]bx9fPZCBMZvYv69nOgo9Ew==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是正交 (酉) 矩阵, [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素全大于等于零, 并且若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是可逆矩阵, 则这样的分解必唯一.

2022-06-29

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实 (复) 矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.143x1.214]bx9fPZCBMZvYv69nOgo9Ew==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是正交 (酉) 矩阵, [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素全大于等于零, 并且若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是可逆矩阵, 则这样的分解必唯一.

答案：

证明 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, [tex=7.786x1.357]PNGRR9YrMeJbK5als0OSBR6jaJblrJORLgsp7AwX9dC8mrzjDw1XcziDGSuwziM2k3fKNiFq74jD1FzC171t0A==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的列分块. 考虑 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维实列向量空间 [tex=1.286x1.0]LVtrVoR3luZyUPe3gwSlPw==[/tex], 并取其标准内积, 我们先通过类似于 Gram-Schmidt 方法的正交化过程,把 [tex=6.286x1.357]WbpEPmOU2yi9NTbM+iwR7SADFEGnM6yaAo24/m4LZTdUx732lQ0KfI4Qy9fXcb3HBKamdpVCYXTfzyaAydK+9Q==[/tex] 变成一组两两正交的向量 [tex=6.714x1.357]aZAO8nDiqL8QzujAuNdutPDcdSW+LJl0GJujQXELBvUQ1Oat/daV+/BxTBZEHO9y4AMz3pA7hAq0HRyx9SPKIQ==[/tex], 并且 [tex=1.143x1.0]n6MO1awPv6R2eWn3LEE/kQ==[/tex] 或者是零向量或者是单位向量. 我们用数学归纳法来定义上述向量 [tex=7.5x1.357]XMQOy9zJJ/dsAUl2lZvAtPtdP9R/9WKrxxpp8ADC8TI=[/tex] 假设 [tex=5.214x1.0]Xg+ZXtJvIeNMqAJCQGECJXCYh9fY18c13c8gqO8uPHM=[/tex] 已经定义好,现来定义 [tex=1.143x1.0]n6MO1awPv6R2eWn3LEE/kQ==[/tex].令[tex=9.357x3.643]dY3ww1GRmob/FS8g3L7acVYD6g3fYdMlNa5uEmzSew+ISS7AGkMg2KVMZh7TBaY0iUhFfQPhn4+6Mm3kOYZV8y7YCndlPUdeRWQg5ar+itA=[/tex]若 [tex=2.143x1.214]D112YUegi9/rolj4lrZdwA==[/tex], 则令 [tex=2.643x1.214]EH3d8Dd+sCOvFZYJYfuHbw==[/tex] 若 [tex=2.714x1.214]IKh6+uYdwJoGFUtm0/XJrQ==[/tex], 则令 [tex=4.143x2.429]r3PkUETxSqms2D6Y5uKrLk8VRnA+FnGY29zP5KRLJyoDVQ5oUBSAY+7SNWmAI8lI[/tex]. 容易验证 [tex=6.714x1.357]FKfqp1mrqHt+ZIHzYLeJvofWGC9hXudJybJCq8WeSYIBJsynVGr/Cq+pFDuJGz+a[/tex] 是一组两两正交的向量, [tex=1.143x1.0]n6MO1awPv6R2eWn3LEE/kQ==[/tex] 或者是零向量或者是单位向量, 并且满足:[tex=17.357x3.643]T/mzXDrHEwOxr7fjf52Rk2lf8c9UDfxWiP6gFH3nD3gtOhu7ljylhDPfRZLCTtp5BxttdEn1G4fKsLBLFQrYqfpf2oYObEzYo62LDBUISDGy51cvGU+WeJWHFsgAVPZAtIVZavwgJ9tBk3CH20JBhKb4TFYjlLhVD1Ita0BWC60=[/tex]            （9.4）由上式可得[tex=16.286x1.357]ZgaoyIMNlqbvkzJfsE4VI+raFAjqnUEj8ddQPweCPyIamh7l6B3t0kfYvBFvuLhQGGjN7OKBKO0PomQThMheS/ErXMHhpvDEGvimvm/1l4DeD64+T084AQZgoNwob0Lu6aS1Zevi8bcS0XEcscZQqg==[/tex]其中 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素依次为 [tex=8.714x1.357]eHePOhgHZN5nyMIKDTagMRLi1uSdADXCm5UyZJhq0DpEMUp7jUn2+X0EJWOKhFokOstmN4ZM0rH4qasSJWldOqFYxl5FvhCeyOmBaEL0aO0=[/tex], 全大于等于零, 并且由 (9.4) 式可知, 如果 [tex=2.429x1.214]N1BqU463tqPsvu8P4ESlBg==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的第 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 行元素全为零. 假设 [tex=6.071x1.071]dF12PSH9QqLvTTAxlw+FT6Kl48JBSIKVXzZYwPAHtmFafo2MJq66AJ/VYS9qRzxf[/tex] 是其中的非零向量全体，则可将它们扩张为 [tex=1.286x1.0]LVtrVoR3luZyUPe3gwSlPw==[/tex] 的一组标准正交基 [tex=6.786x1.357]Zpp20tDJapzdtQBwIolwfMhP/Ii+wJ/2TuywbNZZ/emudFXgjOrnvaC/iurkqhadUK96ulmGlpUFaHV/ct0ioytgQtYbYjO0PLZvT0RANkI=[/tex], 其中 [tex=9.071x1.286]iVGpqAWw+uhHsCRB9w8A5ZK0ZTcCxwdnFJodBLpxIBLj2QU3nfMDGUu7mFQ0Yk5gEKrQeZ+8LKPz03eTyjRgFQ==[/tex] 令[tex=8.286x1.357]jXf5aSv7g0NHOUrRdrEaUD2UIY6k6iFsIGOASzlElWqu4tY/9ofQZDuKm3sTvG55uQm+yrE4U/v/AWxsRXXwpLjVlbRV0uPawReaWUN3ONLfBSdlRd1vK2K77QFoPFKD[/tex], 则 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是正交矩阵. 注意到若 [tex=2.429x1.214]ICRQmC8RQ2173KoUyvOjSQ==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的第 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 行元素全为零, 此时用 [tex=1.143x1.214]zaeK1B+ir4+LvFQZbkUf4f1Jo8HNwQRVr7EOGxuHlGs=[/tex] 代替 [tex=1.143x1.0]n6MO1awPv6R2eWn3LEE/kQ==[/tex] 仍然可使 (9.5) 式成立, 因此[tex=18.643x1.357]ZgaoyIMNlqbvkzJfsE4VI+raFAjqnUEj8ddQPweCPyIamh7l6B3t0kfYvBFvuLhQWHwWh5Mn4N2GO3isCJ2Hd3VR078iIvSBIq9O6EeoIREgLZe/lOqN9EVx8MX9sy7Fa6y0Iaiznk6cTCAVnJbice65y/5y7JD6qmk1s2x0nyPwroeAI1WMvRdbwxjnPqJO[/tex]从而得到了 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 [tex=1.571x1.214]MiLow2UBOg0FBpWp6ijNUw==[/tex] 分解. 若可逆实矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有两个分解 [tex=6.143x1.214]m6cb4Bz9/6Xt3QqCdg7fJVIIh1sO683opaSqE5L+h8U=[/tex], 则上三角矩阵 [tex=2.214x1.214]MkE16TSRUVWrsB2Ad4reYg==[/tex] 的主对 角元素全大于零, 且 [tex=6.429x1.5]7WOFMv5IsEuaDhwMQn8pF1J+k17WSO0/t8LXK1vN4C0=[/tex] 因为正交矩阵之积仍是正交矩阵, 上三角矩阵之积仍是上三角矩阵, 故 [tex=6.143x1.5]7WOFMv5IsEuaDhwMQn8pF5AD9BP9VOfUCqLmWrvUZ7g=[/tex] 是正交上三角矩阵，从而是对角矩阵.又因为正交对角矩阵的主对角元素只能是 1 或 -1, 而 [tex=2.5x1.5]28kPZHvRdkFrkKDwCcUxhQ==[/tex] 的主对角元素全大于零, 故 [tex=4.143x1.5]efulXsnDkvcSG47gbnQs6sRYev5ieDuts01R6nF5F8E=[/tex], 从而 [tex=5.929x1.214]/1IXleXR2yfclaz2QoXRI98fZbX3N5Q4NMWhZbu9wAQ=[/tex] 复矩阵情形的证明完全类似. 

举一反三

内容

0
证明：如果正交矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是上三角矩阵，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对角矩阵并且其主对角元是[tex=3.143x1.286]UpgPA2CfJTcngsFpB0J45Q==[/tex].
1
二阶实正规矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 不是对称矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正交矩阵的充要条件是未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的行列式值等于 1', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的行列式值等于 -1', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是可逆矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是奇异矩阵'], 'type': 102}
2
[tex=0.5x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 以任意一个 [tex=0.5x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维非零列向量为特征向量的充要条件是未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是对角矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是数量矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是单位矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是零矩阵'], 'type': 102}
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶奇异复矩阵但不是幂零矩阵, 求证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于下列矩阵:[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vH23NHniMlEwXxHZzPyoM7wGtHPfHuUKUfQduivoh2saWB5iDW+hBFaG9wzMvmDk1Q==[/tex],其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是幂零矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是可逆矩阵.
4
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，证明，若[tex=3.286x1.0]B5kng4RQ4+wxoF4j9jMkfg==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]互为逆矩阵。