设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex] 阶矩阵, 若 [tex=3.0x1.0]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQecn5ATzZirYjqpW/G5GCKs=[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于一个主对角线上元素 全等于零的矩阵.
证法 1 对矩阵的阶用归纳法. 当 [tex=1.929x1.0]iy49FZmj3Bn8sRaLZpfrEw==[/tex] 时结论显然, 假定结论对阶小于 [tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex] 的矩阵成立. 首先我们注意到如果可证明 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于下列分块矩阵:[tex=6.857x2.786]HJammJSW6EkxRCluDbVEjvXv8XXBBPLye6ZoWa5u+Ff1kV05gdegZKupcIZhFwlxwCeXMC0/9oO19tpCbnTc0VpPCX91zr0P+hjecwMFWedUR1liiBtZbo2FhEDFrbbA[/tex],其中 [tex=1.143x1.214]G9FGYE5DVd2ZDggqvhUxJA==[/tex] 是一个 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 矩阵, 则显然 [tex=3.643x1.214]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQWf4XN949o89CPCUAxWahrA=[/tex] 因此由归纳假设, 存在可逆矩阵 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 使 [tex=3.643x1.429]5+4hAI5lzMF7rhe7/xRAoEN2zQ1zXDykHsk7XjxzVUk=[/tex] 是主对角线上的元素全为零的矩阵. 令 [tex=6.643x2.786]voMsmPUnkKaf9u+uf6vo05uE7fow38q6LnCBVMUCQL2W0Z+BzVwFIvPI1VwRp3+TLnk2rnzzlUJeJUJmzW8Tng==[/tex], 则 [tex=13.429x3.357]rGVe/3X2CR8B8yd85QCI91IW2ZQVR4Z5dxuC8Qi0JSUGSBB+5wusPa8WC6mZl7CTeEyIWdBJ1scT7H5NxHupp/OznJaLM1FQ34CSIarHdSW864keTc1OzxgqBO5ZK7Dcj2FVuMIekF3F3KpvwvQ36Q==[/tex]显然这是我们要求的矩阵。由于相似的矩阵具有相同的迹, 故可将问题归结为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 Jordan 标准型的情形来证明. 因此我们只须证明迹等于零的 Jordan 标准型 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 总相似于具有形状 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的矩阵. 下面分两种情况来讨论.(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是对角矩阵, 我们可假定 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上的元素都不等于零, 否则根据归纳假设结论己成立. 设 [tex=10.929x1.357]nvISsux7QOju5+/gvskxlJShWvPo5LZFu8/nrTo6fsW8GWe/nouPSqPJh0bvB7YZ7o4r2i9zZ2Oj6Bt/THzjqX51HGCKG5ywZmps8UEB+HernwOGS2wPaST1VTdHzrZR[/tex] 因为 [tex=3.0x1.0]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQecn5ATzZirYjqpW/G5GCKs=[/tex], 我们可以假设 [tex=3.214x1.214]FwUVrQfqv8R4TatmUIa9t8EabdYtKpE45BYi1+Sfz5c=[/tex]. 注意下面的变换是相似变换 (为叙述简单, 我们用二阶矩阵来说明)[tex=24.0x2.786]rwMhqGKFQ+j3l2qMx/grPs1fs8HdZ0fi/eTMuqyuw8mgrlHYSq7pEfcZA/mPgeqz3yPhcIKXRSxscU4QNxJrYjtZRasyUXP9SKpF+COrw2red8LF5wVyEOdPYhLg9TVa07oCzfMt2IedPU9rDeMyDvTW8rBuo9TzkhjhEOdPPpcY3W3len50RA987Bc7VGcXlPjxSON4lpOuy/qQm7JPHqq+lIlL6v21L4YYTcSa5EujZpbJuYfWsbHxE2M5EHNaqa4lyGXqPevZ5TjftlZe5L7mxTzdvo3eFLpiTHxNlQ4Su/5YZo8HqhZ/FYavXfW3nzJsGeQQxeQc7PfLj9Z26V6PNx9mauMcgCUffPjlzWJDrD+ygA8Nk7RiYsw8sHh+ZjXJGteKP57w7Xv9JOZMdw==[/tex]同理, 下列变换也是相似变换:[tex=34.429x4.214]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[/tex](2) 假定 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有阶数大于 1 的 Jordan 块. 同上我们可以假定 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的每个特征值都 不等于零. 设 [tex=0.929x1.214]UQ53WUFZ0JaE43+v4yutiw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的第一个 Jordan 块:[tex=12.214x6.5]rwMhqGKFQ+j3l2qMx/grPqRf+4MYt+JUUGGYa68tWWslgQnQcY5nqioV5lOawNVCJULqmwqZyEpuBY8W8lOynMR1nukenPkhQNM86B9xo1FrhmLMEFkOuPViczQfuQnwus0kEn3yPWu08di913+WNMqUNe0TUYEtaekM7MN6ZIbdfB4EoJdvOKoSua++/xjZtR7IFQStGqdRhjeBZT5gy7uzuXo0Jgbk+eW/74fGUdsMCI5l5UQN3bi6HiR1XYWFq2j+7AyjBeMuvVev56NPLTrMCRHt0xsmQmhvr0uRqMMrULU5AhR05NASfz7bdysa[/tex]对 [tex=0.929x1.214]UQ53WUFZ0JaE43+v4yutiw==[/tex] 进行如下初等变换: 将第一行元素乘以 [tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex] 加到第二行上, 再对得到的矩阵以 -[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex] 乘以第二列加到第一列上, 这样就将第 (1,1) 元素变为零. 而上述变换是相似变换. 因此 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于一个第 (1,1) 元素为零的矩阵, 显然我们又得到了结论.我们只须证明迹等于零的有理标准型 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于形如 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 一样的矩阵即可. 如果 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的有理标准型中有一块的阶大于 1, 则显然结论已成立. 如果 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的有理标准型中的一块都是一阶的, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的不变因子都是一次多项式, 因此必相同, 假定为 [tex=2.214x1.143]+aG/hAATzBs/KHhismFZ3g==[/tex] 于 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于 [tex=1.429x1.214]irqw2qMLfUgPiGL4HPLORA==[/tex], 从而 [tex=2.929x1.214]812GUNKfnP55ePNtKNaOJw==[/tex], 又由 [tex=3.0x1.0]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQTN0Eu3H17Pbtp4nX6XkJT4=[/tex] 可知 [tex=2.143x1.214]cXu17fWLfldMIgXAU4i8vw==[/tex] 故 [tex=2.571x1.0]JMkzX0q6A225ax7r8MHOOw==[/tex]
举一反三
- 求证: 若 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和对角矩阵 [tex=9.286x1.357]4hVOD4TWSI62OX9AhSJlcFT9/s8GpEqLGvCv8s+mV12qyqoqYS5txrxH/yqVh2LI[/tex] (或任意一个主对角元素互不相同的对角矩阵) 乘法可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是对角矩阵; 若进一步 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 还和第一类初等矩阵可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是数量矩阵 [tex=1.429x1.214]FxIjkBm1yL0dMFtX1spLfQ==[/tex] (由此可知, 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是数量矩阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和所有可逆矩阵可交换).
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是严格对角占优阵且主对角线上的元素全为正, 则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵.
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实 (复) 矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.143x1.214]bx9fPZCBMZvYv69nOgo9Ew==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是正交 (酉) 矩阵, [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素全大于等于零, 并且若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 可逆矩阵, 则这样的分解必唯一.
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合下列条件 ( ) 时, [tex=2.429x1.214]w0DJAkqgaLBmdaL0DbtIKg==[/tex] 必是可逆矩阵. 未知类型：{'options': ['[tex=2.643x1.0]T6KgxyahhCNAGhkx/jtGQw==[/tex]', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是可逆矩阵', '[tex=2.643x1.357]ynAnlsS4a0FhNAU9AfGT6A==[/tex]', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上元素全为零'], 'type': 102}
- 若[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的主对角线元素互不相同，试证与[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可交换的矩阵必是对角阵.
内容
- 0
证明：如果实矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正交相似于对角矩阵，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对称矩阵.
- 1
矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是上三角矩阵且主对角线上的元素全相同, 除主对角线上的元素外, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 至少还有一个元素非零, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型必不是对角阵.
- 2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实方阵, 已知 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全是实数且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的一阶主子式 之和与二阶主子式之和都等于零. 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是幂零矩阵.
- 3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的所有主子式全大于零, 特别, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上的元素全大于零
- 4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶奇异复矩阵但不是幂零矩阵, 求证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于下列矩阵:[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vH23NHniMlEwXxHZzPyoM7wGtHPfHuUKUfQduivoh2saWB5iDW+hBFaG9wzMvmDk1Q==[/tex],其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是幂零矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是可逆矩阵.