(Jordan-Chevalley 分解定理) 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.786x1.143]ZPDCNCiUIwYwOt9O3PBAYA==[/tex], 其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是可对角化矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是幂零矩阵且 [tex=3.786x1.0]5xVwadhd/UKGXIGbp0aE+w==[/tex], 并且这种分解是唯一的.
证明 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型为[tex=13.714x3.929]mBFy1Y+VuffGbzW0j+gyjf/pd6wW2Q3fndO66QGNbxtejyFUOuQUqTs9VTzmdRNSs1RsHRuMD/i4fH/gwZewEO+IBqdtu/v9JmFzWc2hI2glCsGFQ6W/W9oze+bcNegOc0KhdbtVAA5Gr9s3zMsETcyNFlquVwbuk+ZjvMT+GK4=[/tex]其中 [tex=0.857x1.214]OvQB372r04FgQeaC+Lap4Q==[/tex] 是特征值 [tex=0.857x1.214]l/wl2ydXQlBxRZnkz9EaVQ==[/tex] 的所有 Jordan 块拼成的分块对角矩阵, [tex=4.357x1.214]17ZxfaDG0ShhAtWo3TN3rMgnen1J9IDKgq+zqoQf8AsH//bMST6OqNm7dcBBBYMC[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的全体不同特征值. 注意到 [tex=4.714x1.214]lyrOJ3vL/FEq75tIu8+HDGo1HSB3kYnYD2GMswkauck=[/tex], 其中 [tex=1.071x1.214]xpvE5+4q5kWZTp1c9zWnzw==[/tex] 是幂零矩阵, 故 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 可以分解为一个对角矩阵 [tex=10.143x1.357]/2hU+ESVTE8f2hrftoQtCBuyQVvXQr412hNALvbjWwmb+AeIJc+iBttHbuFHb+guHPk3ln636yJEfr+hGNx4sWLlj/fz8yaZoipnnzQewA8=[/tex] 与一个幂零矩阵 [tex=9.571x1.357]pfcTfWKNq4YjwZG0/IHXuttl/LFG5UX+pPMohxKbY+0tFqKv5fl9fW18XIkupWVkTZpktf6axn0chvqPxPMKHg==[/tex] 之和且它们的乘法可以交换. 于是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可以分解为 [tex=3.786x1.143]pzJ0GmN8ItxK714kLQqQBg==[/tex], 其中 [tex=4.929x1.214]O5R0qo1p+Fb8CRh+iOnkG8nO34eSeOaeeQJuABdqJMI=[/tex] 相似于对角矩阵, [tex=4.714x1.214]cBMMwbMwX6fjkwEw+gkRew==[/tex] 是幂零矩阵且 [tex=4.071x1.0]bTVQCVVX/nWwZN+s7fONZg==[/tex]这时显然有 [tex=8.0x1.214]/wY+Am/A0UaFvS/P8ZT1COb98lsVfSGR8bjS8Ei6r7s=[/tex]为了证明唯一性, 我们首先证明存在多项式 [tex=1.857x1.357]16KT0+hXCf8wMIstCDilkg==[/tex], 使 [tex=3.857x1.357]fhu9fNoCG6epHA4QD5wwsw==[/tex] 由于 [tex=1.071x1.214]K9TX21Jtxv2jhu2bjOL5Rg==[/tex] 是幂零矩阵, 故 [tex=0.857x1.214]OvQB372r04FgQeaC+Lap4Q==[/tex] 适合多项式 [tex=3.429x1.357]e0Zl7OChjKdCCKMNNl410xg+gfQXxQHdQmD+vW9dcpJrhHP4U3FhjT27m9Yv3lfv[/tex], 显然 [tex=9.857x1.357]e0Zl7OChjKdCCKMNNl410xsq9uJoStzmhEyoUyePSeZAujF3ZwbGTRSzPFww+RTpXEN6O1HVrE3ecVC3UV+ibs4b1047O1WlMsrwvs832+aFesBTOweE3MTWaW3i63ec[/tex] 两两互素.设 [tex=3.714x1.357]1Dm59E0DENPv8auzj3/ZMWXD+6NjI75T8frxHadt+JM=[/tex] 为常数多项式, 则 [tex=5.0x1.357]f0hFb0bmWDFFCEg1QKLN6sIdXOtWZk7ZXg5uVhr6TEDoLNdCWucSpI6NFwfdOgso[/tex] 可知, 存在多项式 [tex=1.857x1.357]16KT0+hXCf8wMIstCDilkg==[/tex], 使 [tex=3.571x1.357]M3NS7sYT6zOmQK+ONzdayg==[/tex], 于是 [tex=14.214x1.571]Z/vAHJTssFot09T0QGESQm+i8gEUszAbZqRGjpLdZav1x2KeqvRwPZFwVshw6BIcYJ+jHVdKdbu6IuwIGRIKLA==[/tex] 注意到 [tex=3.786x1.143]KO3URhTBfbqNu5waallC4A==[/tex], 故 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 也是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的多项式.设另有满足条件的分解 [tex=4.5x1.214]hY7nYz48/6o+EJawmmt+gHlIG6oBHNbwnkDqjLIzLxA=[/tex] 且 [tex=5.143x1.214]mYfiP8J4Pt4QUU8zWrOSbKr3US85fob1l38EYKQQ9gI=[/tex], 则 [tex=16.571x1.357]h3q+OFXr8q6btx3TsA+PG2JByjkD4fFzBr7sLtA3A3nnsculWjgDlkcIuZCOuWWYe9Gh+ejkHE8/ex4CGvFTtSL1WoPi8vMy/egW2K1sdK2E0PjKFpNOTQ1F+mSZRX8CjpH1tOQDXN0sD9kMkeiM8Q==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=1.143x1.214]i/PCluKWiCPJd2PLr8SVjA==[/tex] 可交换, 同理可证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=1.071x1.214]PQfcN+T9uNUhIfQF5NHXvg==[/tex] 可交换. 因为 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 和 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 都是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的多项式, 所以 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 和 [tex=1.143x1.214]qvnh6oj2uyTPTGw0DdpyZQ==[/tex] 可交换,[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 和 [tex=1.071x1.214]PQfcN+T9uNUhIfQF5NHXvg==[/tex] 可交换. 可知, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 和 [tex=1.143x1.214]qvnh6oj2uyTPTGw0DdpyZQ==[/tex] 可同时对角化, 即存在 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 使 [tex=3.286x1.429]dsMTAm4RhmbaO8IkLEUv4w==[/tex] 及 [tex=3.643x1.429]Kn+Fgnih1DOlMFGclbTFZp5OsXKhsWzZiTcvvq2UZBA=[/tex] 都是对角矩阵, 因此 [tex=2.714x1.214]hlPOX+oSuW+YxjK2SA716g==[/tex] 相似于对角矩阵。另一方面, 从 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 及 [tex=1.071x1.214]PQfcN+T9uNUhIfQF5NHXvg==[/tex] 的可交换性和幂零性容易推出 [tex=2.571x1.214]lXHHpI6eNxIeS057fuLItg==[/tex] 也是幂零矩阵. 事实上, 若 [tex=5.786x1.429]EsmGd3CMnxH0W4mO3Y/K0VVl1Sde2Y27kgmF5OwnCKw=[/tex], 则 [tex=6.5x1.5]3a5+j04WEYYXl3YkkZeO9Aga+TX3kanwjr4ubHunqsTp2M6NpjVT5Mh42quzEtFV[/tex] 但 [tex=6.0x1.214]p94tUE8EEO7AgiZrPQoIDeA2gRWZdgbmCDetzRzAm8U=[/tex], 故 [tex=8.786x1.214]oZLyHmdHlCHR5e6POe8Gpz/elLXX/Mt/FnV7LppWl5U=[/tex], 即 [tex=5.929x1.214]Ex93kPasmZhHuzZjNpZ8JWqcnBEuGCFBizx/v1UokDk=[/tex]
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶奇异复矩阵但不是幂零矩阵, 求证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于下列矩阵:[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vH23NHniMlEwXxHZzPyoM7wGtHPfHuUKUfQduivoh2saWB5iDW+hBFaG9wzMvmDk1Q==[/tex],其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是幂零矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是可逆矩阵.
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, 满足 [tex=4.071x1.143]23C06xV+qahUl1T3xcoZnwRQpH8YtXCwkd9Ub4sG38M=[/tex],证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化.
- 若矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 即 [tex=2.786x1.0]t6ogScZVzQ6nmR7J34fx7Q==[/tex] 但 [tex=4.5x1.429]LeMsK/GHf6ch8ZOCybGouXwgjeQprbWyKA1XUXYVQGI=[/tex] 如果 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是同阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex].
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实 (复) 矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可分解为 [tex=3.143x1.214]bx9fPZCBMZvYv69nOgo9Ew==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是正交 (酉) 矩阵, [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素全大于等于零, 并且若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 可逆矩阵, 则这样的分解必唯一.
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶幂零方阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆方阵，且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 可换，则 [tex=5.071x1.214]RN2thfSI1MmKxRcibVWDuJHiSryPX2cHjTCV9twFdmY=[/tex] 都是可逆矩阵.
内容
- 0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的伴随 [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 也可对角化且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 可同时对角化.
- 1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，证明，若[tex=3.286x1.0]B5kng4RQ4+wxoF4j9jMkfg==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]互为逆矩阵。
- 2
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化, 证明: 矩阵 [tex=5.786x2.929]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vDGVIWpCg76piMmnyFcYvJ30v2dnDBcZT+CtEF0LPwSO5n/9G7bH/EVw4tnsFghmVnp005U4fOKa2fdYOgjElIc=[/tex] 也可对角化.
- 3
设矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，且[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵，证明： [tex=2.643x1.214]RXNYPSeOxp2KYb7ZxErkfA==[/tex]也是对称矩阵。
- 4
对任意[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，必有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]和[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使[tex=4.786x1.143]bjug+2fCbFahifOyjMZ6iQ==[/tex]，且 [tex=3.143x1.143]57nkaTxHZKLdDQlG6CJo10QNnuiWY4bAdibLZ4zTNVk=[/tex]，[tex=3.857x1.286]AWQaojZoslrg4RmkgN7Iew==[/tex]。