实数域上每一列（行）的元素之和都等于1的非负矩阵（即矩阵的元素都是非负数）称为行（列）随机矩阵.证明：若[tex=4.429x1.214]SKUxnHVjd+UtOMqWcMh5qVMxDqowZ2Z7P1zmNzOprNg=[/tex]都是行（列）随机矩阵，则[tex=1.571x1.0]JLMbVw4e37VvhkU494+8Ew==[/tex]也是行（列）随机矩阵.
举一反三
- 实数域上每一列（行）的元素之和都等于1的非负矩阵（即矩阵的元素都是非负数）称为行（列）随机矩阵.证明：可逆的行（列）随机矩阵的逆是行（列）和都为1的矩阵.
- 若非负实数矩阵 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 的每行元素之和均为 1, 每列元素之和亦为 1， 则称 [tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex] 为双随机的. 所谓排列矩阵是指每行和每列均恰有一个元素 1 的 [tex=2.286x1.357]4AG4sq9ONHpAms0C151/TQ==[/tex] 矩阵. (因而每个排列矩阵都是双随机的.) 证明:(a) 每个双随机矩阵必然是方阵.(b) 每个双随机矩阵 Q 都可以表示为排列矩阵的凸线性组合, 即[tex=11.143x1.214]m0jT8b+ukjHoU34B8d8bnMYvO94XJULO6JN98ZM7nxTEoJ29iEAhgA5E93oUXsfJHedpHuyBTKsVbIMYTxz3rQro+lv2IgLzOh/+mdQChttgX2Gb7dCwD+KaUtrHOWbN[/tex]这里,每个[tex=0.929x1.214]FXfQd5UQUFqUryT8yh94AQ==[/tex] 都是排列矩阵,每个 [tex=0.714x1.0]I2f3gjHT9mQSL2Bpp89Exg==[/tex] 都是非负实数,且 [tex=3.143x2.786]PfMZxze89KrqGaIxWg44cASYbZISeYMk8FUVNfEsnrY=[/tex][tex=13.286x1.357]pAGoL8bzXUySzMrSI0rXY7vbzKbeKKKe0KuMcAN27LE=[/tex]
- 分别用矩阵的初等行变换和列变换将矩阵化为行阶梯矩阵和列阶梯矩阵：[tex=10.857x4.786]rwMhqGKFQ+j3l2qMx/grPmxNL88IbK7Ca8LE2XLMZK012MSi4EuQ4J7T6VEs+/xdGwzl7e7Sl2c6lxHBrp5ybl4ezzkPFNgYoKISGr+C3uQLMN6+BVZKQASyYOf4cAg/WjqclafvMpJI7fi/rPxtvRWJXqsEPkSx38egJ8Ygd8ZvuqkF1TQF2Z7PtaM70BkG[/tex]
- 将矩阵[tex=12.429x2.786]wstlED2YoyYF0gksYVVaT9fAwf5J1Fzs52VSbsF++cuzowgfJ0EaSVueYy7kA3HsgVvsTAnUmigjsfmIwT1bbRM1uAe0vCzNPlyX3xEp1zDOaCgtl5KRh7InQ3jpRz1up5G6+RBHRQ3zF7a+MvwB0QOlc9nIHQeI06t3zM0xnNA=[/tex]和[tex=5.5x2.786]pAAoi8+rbNOsE+UuUn451ly4wErQT0vPwXlkDjOpg6zEdSvljF1yBY72kxWpaBUfi6/nY8nf4jGUrd5t9o11zg==[/tex]组合成两个新矩阵：（1）组合成一个4x3的矩阵，第一列为按列顺序排列的a矩阵元素，第二列为按列顺序排列的b矩阵元素，第三列为按列顺序排列的c矩阵元素，即[tex=5.857x4.5]NeoTBlf1CmkUoMf07Si5dNuKzrHERvE+0+aEj4oL5NPAn8bIjzqfq6LQQQ6MSeS57eF4XhIweD/KU9nu19Vb7JRFArkk9YGg8K89k42GNX2VMI6PqsZdnxnQVD3WlNGr[/tex]（2）按照a、b、c的列顺序组合成一个行失量，即[tex=18.571x1.357]NeoTBlf1CmkUoMf07Si5dFzYYMSGIFeL9ghNuRF7YI/oyMtQ/io9FUE6fFRJHqur6QtNLUUoAYPNc4gojisStYqIONEPE2QflPezIlgGvfnDZsupv1SegLkOW4FEhJ/w3vga3aRf5kTvn/S/Tx9AwQ==[/tex][tex=9.071x1.5]v3TSjmxMgh4biDtR+doI6wvQ1R/XiXSrE7sokaTZq9dLvgI6O9+8gs4NiBm7SPM/TL6BfwThTfWmLTrxXkUy75Drs5umV78IOhbU70VcEtk=[/tex][tex=8.929x1.5]+Y1gu+KskFNUD9fxBipkhVbWguesRR7bbju0D/jtHiXuV7fCfJHTcQRd0idJ5LH+6hhNgMd9X8a/bDtDMNMpyd6FpMSzw0lnkn0GLNo+Aw8=[/tex][tex=9.0x1.5]ciB7pcj8q0uCfkpqxJhrAoy+Y8gpZcV45HXm4vwkZ46ir2YqgCapFADCMmxb0bftXCo1Ra/nNxUOt/agOZWOSiqiuQ8KwMHic/TU2vpT0FU=[/tex]
- 一个矩阵称为行 (列) 满秩矩阵，如果它的行(列)向量组是线性无关的.证明:如果一个[tex=2.357x1.071]0nq0b1fEFW/AV6tuzNPMsA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=0.786x1.0]oqR8O5ECXDp5f/4iM1EJLw==[/tex]则有[tex=2.143x1.071]rEyV9COcOO6bGHvQoT8WZA==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]和[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使得[tex=3.286x1.0]y0QpTXNFx3ADRFNmRLSZAw==[/tex]