设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl/jgx7HDqG8OMKcZZrhVcXy6+JovSSXitpjCbh6SDQEN[/tex](2) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl8wUbDZMgCOnJA1lQifZKR+Dh2C+JkyFhRzqn66dyW91[/tex]

2022-06-29

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl/jgx7HDqG8OMKcZZrhVcXy6+JovSSXitpjCbh6SDQEN[/tex](2) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl8wUbDZMgCOnJA1lQifZKR+Dh2C+JkyFhRzqn66dyW91[/tex]

答案：

证明 (1) 先证必要性。若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定阵, 则可知, [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 的特征值全大于零, 从而 [tex=5.357x1.357]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQf44FfGD7M75k4XT8c1zVOc=[/tex] 再证充分性. 用反证法, 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 不是正定阵, 则由 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆知 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 至少有一个特征值小于零, 不妨设 [tex=2.786x1.214]rXkAdE9sVkTCx/gu4ipEgg==[/tex], 且 [tex=0.857x1.0]3dL6VJHKHZnugLK8MQRDDg==[/tex] 为正交矩阵, 使得 [tex=12.143x1.429]HJh23+YZMuQlTuBRF4oDqCAIaAN0jTcDHTC8neqdje+OVCfl+qElQCkDigprATTehkY24FT2c6Cir/oTKtuwx1h81amfMOcq+7FPNEGQQx0ItCt2unkX0fivj04+e2JRTDTc4/bPWw4MK6Wyc8zlCA==[/tex] 令 [tex=10.5x1.429]41W63yYIhh5UrZWNQDAccGeY54ejQ2w+DrB2N7Q9L61EpUSK6n1pdCAGPNqtgbtKQFy5h9MJzklXW0IS7sNRrg==[/tex], 其中 [tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] 是充分大的正实数, 则 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为正定阵, 且[tex=22.857x1.429]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83zvtl8L1Nk/ddZ5aEr09ReP6kpmUseXFC5TX617IWuxqax3QBoJuu/xQxFJRhNtQDUwc06M5HuewLez1oSDY+DtkDG1KYzm3V9sGtxdgKfZX34NDjl8MDRkAhvpil1fuDCJBdvC6FUmtnrW4x+nTSJRNpZ/+pS4vsAeNaA2MOgwzb/LQyMLFejBnqmmrAFzulEbYN3DSnUe3Xp83deijB+w=[/tex]这与假设矛盾. 因此 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必为正定阵.(2)  即可证明必要性, 而充分性的证明与 (1) 完全类似. 

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是严格对角占优阵且主对角线上的元素全为正, 则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵.
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵或半负定阵的充要条件是对任一满足 [tex=3.571x1.143]llbZOzaSxsy88gIN6zZS7cPCLJ3lBdtgbQucP4Fp0+A=[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维实列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex], 均有 [tex=3.0x1.0]csywNAQgCnO/YRNTVQy1WQ==[/tex]
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 中绝对值最大的元素只在 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定实对称矩阵, 求证: 对任意的正整数 [tex=2.357x1.071]iILyBi8jdCgmaZqoi7cqWw==[/tex], 必存在唯一的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=2.786x1.214]MIYWhCxwCfBwb369JM2IQw==[/tex]. 这样的半正定阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 称为半正定阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 次方根, 记为 [tex=3.071x1.357]Yx5Tm3Z9YqJZTF15ZkFLb5LP64pCrQYHSJEZOo581iA=[/tex]
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[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值均为正数的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定方阵.