实二次型\( f = {X^T}AX\left( { { A^T} = A} \right) \)为正定的充分必要条件是（ ）
A: \( R\left( A \right) = n \)
B: \(A\)的负惯性指数为零
C: \( \left| A \right| > 0 \)
D: \(A\)的特征值全大于零
A: \( R\left( A \right) = n \)
B: \(A\)的负惯性指数为零
C: \( \left| A \right| > 0 \)
D: \(A\)的特征值全大于零
举一反三
- 设`\A`是`\m \times n`矩阵，`\m` 小于 `\n`，则必有 （ ） A: \[\left| {{A^T}A} \right| \ne 0\] B: \[\left| {{A^T}A} \right| = 0\] C: \[\left| {A{A^T}} \right| > 0\] D: \[\left| {A{A^T}} \right| < 0\]
- 设\( A \)为\( n \) 阶方阵, \( B \)是\( A \)经过若干次初等变换后得到的矩阵，则（ ） A: \( \left| A \right| = \left| B \right| \) B: \( \left| A \right| \ne \left| B \right| \) C: 若\( \left| A \right| = 0 \) ，则必有 \( \left| B \right| = 0 \) D: 若\( \left| A \right| > 0 \)，则一定有\( \left| B \right| > 0 \)
- 设 \( A \)为 \( m \times n \)矩阵， \( B \)为 \( n \times m \)矩阵，则下列结论中不正确的是（ ） A: \( {\left( {AB} \right)^T} = {B^T}{A^T} \) B: \( \left| {AB} \right| = \left| {BA} \right| \) C: \( tr\left( {AB} \right) = tr\left( {BA} \right) \) D: \( {A^T}A,\;B{B^T} \)均为\(n\)阶对称阵
- 设\( A,\;B \) 均为\( n \) 阶方阵，则必有（ ）. A: \( {(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2} \) B: \( \left| {A + B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \) C: \( \left| {AB} \right| = \left| A \right|{\kern 1pt} \left| B \right| \) D: \( {\left( {AB} \right)^{\rm T}} = {A^{\rm T}}{B^{\rm T}} \)
- \( n \)元线性方程组\( AX = B \) 有唯一解充分必要条件是（ ） A: 导出组 \( AX = 0 \)仅有零解 B: \( A \)为方阵，且 \( \left| A \right| \ne 0 \) C: \( r\left( A \right) = n \) D: \( A \)的列向量组线性无关，且B可由\( A \) 的列向量组线性表示