设A,B都是n阶矩阵，A由n个互不相同的特征值。证明：AB=BA的充分必要条件是A的特征向量也是B的特征向量。
必要性：设[tex=15.357x1.286]nYM+3qmw1fG2k2FXYdVWeksKZmyphZGv/DNyPw0wudIblBFq3WM6F6eNlSzVXixpdU+uTdxeqcL9S9sa4VDKpBtqGQGJq9ONvDfpmKGf9dw=[/tex]则[tex=28.429x1.286]V/D0RO4HDodfmDfaXy8Znky8zeg6pWJAwVi0s6hLU5MAppVtxLZ3LBKxdAijawEs90YfgI3gNaebGxIB4MnJgv3pEvlgS5/mzClT3wLjl7fbzr47qRIMxVgEvppqyXBHeA5Utm7wnlvkRT+fpKqA6C3utCJCej9FS2/GZR5ODSCk/UlpXt43F1JbatL72sJFrnNiBBvCorYK5xl91V8/80Jlw2uBmxdK2S6GUpHNVqM=[/tex]因[tex=0.857x1.286]vgdex+x3FR9cBmaJfFK1kQ==[/tex]是A的单重特征值，所以对应于[tex=0.857x1.286]vgdex+x3FR9cBmaJfFK1kQ==[/tex]的任意两个向量都成比例，于是，[tex=15.429x1.286]+riyhXxa3fC9AC+WlOF11NK+GESta0N3CF1bz/NFuN7fBE/h5dQdcjYHiFNRsMvKS2jGKgCp6i7aEzxrN8mtjb+HvNWoUEGJ3OY2IkaPFOw=[/tex]故[tex=0.857x1.286]ldQZaxDdewCU7WPZHEBmDw==[/tex]也是B的对应于特征值[tex=7.429x1.286]tHro3/8M6Euis83YLSqN/t2eJ6/3ngyyH//CjICqN0o=[/tex]的特征向量。充分性：因A有n个互不相同的特征值，所以A有n个线性无关的特征向量，故A可对角化。即A的n个线性无关的特征向量为[tex=5.643x1.286]07nd9KNvcftTb+wfXo92JdwXasNMjdOh9qSXLSSta9OrLEHOYuuCDNX8gAttt77Y[/tex]（也是B的特征向量），其对应的A和B特征值分别为[tex=11.857x1.286]heIB6Jiyt93HedFw9uAHpbtpCJCi7uvxiLwmqoC1C9fhojclM/sXhlU0+Aa5q7zShhP271hSG7/nShQTRdc0luGQ1yshto04WvSGccftREohTlSBCaXfrQAOtxAvALkj[/tex]，即[tex=20.786x1.286]nYM+3qmw1fG2k2FXYdVWevyhM6x8ncmhuFxkwABFh3TVHm9EuH5cPKAYL/ZeWYbZDiQbGMPXWbG+1dPdOHrHXbuy1S+FpxqK3GmYAMubAVxPCUzpwaEZLMa7aG+FZAAlmtXIlMfx8uJCrLZ9BHRNWQ==[/tex]令[tex=8.429x1.286]knh0QhO82BA7qw2r5Ec1dlbOwczkPaV1ypMTQps3d5QlBSLUAnQO14Ky8EZjT7/j[/tex]，则[tex=15.357x1.286]KcyWzeVPNQsj8p5u9EJgTG+ZqF5sZUmPUH5goD9Pr5TgyQENK+lb8vP3GdRjSVqhmUDfUgPG1auojfXP/MGNz9IHQZgjqPDpQAeifDNy/FCTUm7pu82zj61dI/dw4+1B[/tex][tex=15.5x1.286]9QLemdAs7T/RqB3216BCL3F77ejs5J3afDWawk1AC/bjhLWazfp8fD2Z9aa9zzr87QmC3IP2QvCMTq57dZxny7FaNf9OBV3wwDC2lvgZq/Qb4bR+LdMdpey+uZG8p0is[/tex]利用对角矩阵[tex=1.071x1.286]uzsjYMUW7X5fua7rHIg7lw==[/tex]与[tex=1.071x1.286]7TNutXh4VQhmR90hujQjHg==[/tex]的乘积可交换，得到[tex=25.357x1.286]Whze21p1PYQxz48tjwaaiF7OB4H6DPHEIYfhC5vvNXqQGsMMyE9zDrFustSCA7g06BvJFmlzRZHJnV4VPifnT62wSjW8vumBaiLT1k2WmbHugHRaxXwNjlyuxCH0ljqbiNhN1/6y4CjI3+4e17CQ5VP4ZD6e1Td435VLWncp0UBBuGmuodcJ11qajDHtxoX0kj48km4qd9iMaWSq2+jH5g==[/tex]上式两边左乘P，右乘[tex=1.786x1.286]VBNitRsq9zUQTLCrmOOyzA==[/tex]，即得AB=BA。
举一反三
- 矩阵A与B相似的充分必要条件是（）（A）|A|=|B|（B）r(A)=r(B)（C）A与B有相同的特征多项式（D）n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值不相同
- 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量03b1是A的属于特征值03bb的特征向量，则矩阵属于特征值03bb的特征向量是（00a0 ）https://image.zhihuishu.com/zhs/onlineexam/ueditor/201910/63c8e8e41ffd4bdfa8bca76e8750f94a.png
- 设[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]为n阶矩阵，下述结论正确的是 未知类型：{'options': ['矩阵[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]有n个不同的特征根', '矩阵[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]与[tex=1.429x1.214]c5Cf4pRARaBipYntugL/3p2GGpQBMesv+fGldldMJeY=[/tex]有相同的特征值和特征向量', '矩阵[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]的特征向量[tex=2.714x1.0]spsZ+rMIOMiqBxP/ZoH2FwZfpjpMa8yyishLmJ54xHG8AZTASVlkJ08hVkWA2NiNtLDWYZJFoJfJul/K/b6eLQ==[/tex]的线性组合[tex=5.071x1.143]TG2RaZlnICQ1oGI1ZuDsQi7VspdPfhjCObvdsrEXNtfYGRZV8NBWBKjeZSrfDA55Ci8CLOB+4wIPsHBf3ZQI7g==[/tex]仍是[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]的特征向量', '矩阵[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]对应于互不相同特征值的特征向量值的向量线性无关'], 'type': 102}
- 设A是n阶对称阵,P是n阶可逆阵.已知n维列向量α是A 的对应于特征值入的特征向量,求矩阵[tex=4.714x1.786]0idGSV3RW/tbV3escumNdJCYdAltWf1m+mqhNO/rL7L53vNq0UcUnxGEWWeYVvw4AUUKWNqDSiX3JRPY44qgjw==[/tex]′对应于特征值入的特征向量.
- 设 A为n阶实对称矩阵，则（ ）. A: A的n个特征向量两两正交 B: A的n个特征向量组成单位正交向量组 C: [img=6920x521]1802fb7b4a29bf8.png[/img] D: [img=6920x521]1802fb7b56f7898.png[/img]
内容
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设 A为n阶实对称矩阵，则（ ）. A: A的n个特征向量两两正交 B: A的n个特征向量组成单位正交向量组 C: [img=613x69]1802fb7c04dc4e9.png[/img] D: [img=579x69]1802fb7c1048fac.png[/img]
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【多选题】关于特征值和特征向量,下列说法正确的是 A. 互异特征值的特征向量必线性无关 B. 若n阶矩阵有n个互异的特征值，则必有n个线性无关的特征向量 C. 若n阶矩阵每个特征值的代数重数等于几何重数，则A必有n个线性无关的特征向量 D. 若特征向量线性无关，必它们属于不同的特征值
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n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是（ ） A: A有n个特征值 B: A有n个线性无关的特征向量 C: 矩阵A的行列式不等于0 D: A的特征多项式有重根
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设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵. 已知向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵[img=78x28]180349c846c61e6.png[/img]属于特征值λ的特征向量是（ ）. A: [img=43x22]180349c84e74599.png[/img] B: [img=34x23]180349c85790af4.png[/img] C: [img=24x19]180349c85ff8813.png[/img] D: [img=65x28]180349c867ff60e.png[/img]
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下述结论正确的有（），其中【图片】为【图片】阶矩阵。 A: 方程的每一个解向量都是对应于特征值的特征向量 B: 若为方程的一个基础解系，则（为任意常数）是的属于特征值的全部的特征向量； C: 与有相同的特征值和相同的特征向量 D: 与有相同的特征多项式