设有一平面薄板（不计其厚度），占有[tex=1.857x1.286]j9TayWzddHzM0PQ/gL6C3Q==[/tex]面上的闭区域[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]，薄板上分布着面密度为[tex=4.714x1.286]xQi+XjiWJrhzAIbkrDqjfVWbqSJImGlx8gQoClQE0Wo=[/tex]的电荷，且[tex=2.857x1.286]o4NdGwqKyionbD984dgRAQ==[/tex]在[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]。

2022-07-02

设有一平面薄板（不计其厚度），占有[tex=1.857x1.286]j9TayWzddHzM0PQ/gL6C3Q==[/tex]面上的闭区域[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]，薄板上分布着面密度为[tex=4.714x1.286]xQi+XjiWJrhzAIbkrDqjfVWbqSJImGlx8gQoClQE0Wo=[/tex]的电荷，且[tex=2.857x1.286]o4NdGwqKyionbD984dgRAQ==[/tex]在[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]。

答案：

解：将[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]任意分割成[tex=0.643x1.286]kQQPNaSMySIETpfBStVHEw==[/tex]个小区域[tex=2.643x1.286]+jExvO/1GVUp8epU4FSerkXBAonIB3sGAY7qmaikos3tRLRRyJ6vdp+RmyPHtTWI[/tex]，在第[tex=0.357x1.286]IAXU2Bqg62H881xvV8eoHw==[/tex]个小区域上任取一点[tex=2.714x1.286]DeV4p/bP/pD7tJ29CvbCIH7x+9p1rmh43tDbISdbEyBbd84goF981hS/Q74f88Y3[/tex]，由于[tex=2.857x1.286]o4NdGwqKyionbD984dgRAQ==[/tex]在[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]上连续和[tex=1.643x1.286]LBfnSXkQ0s+D60c4nHWFfi6/Z1UyYRIwX7rrS1gGTiY=[/tex]很小，所以用[tex=3.429x1.286]d6TR8rnt5ZTWOdAqUDaH5t87uAYmUpgh6FDEtnmzaAW4MQI8FA7XRsP7zf6aGHZ7[/tex]作为[tex=1.643x1.286]LBfnSXkQ0s+D60c4nHWFfi6/Z1UyYRIwX7rrS1gGTiY=[/tex]上各点函数值的近似值，则[tex=1.643x1.286]LBfnSXkQ0s+D60c4nHWFfi6/Z1UyYRIwX7rrS1gGTiY=[/tex]上的电荷[tex=8.5x1.286]9NO/aFPNAbbPfjDmBeJeczryLHKiTwNVEZxTXbPu2EYovoM3f0N0e5rg3axbrzkoJlkKaLzv+6+mDSTmmqfFAQf5bsl1MdZaZVdcC66wdWI=[/tex]从而该板上的全部电荷[tex=11.786x2.714]4GOBxK4jiwvFZe+TL2XyZUfLLK/er420tM6FBZ/qGWzZR5IAj8tUufClJwHPDauGyweF1OKgfAFQ3TfH4Cj3v+UKfdn3XXUHOdlE58B6vA8ZJN2wlxtoqzJbOUsoEEZ4PP2Y3mImfB4UUEfRt7+wfg==[/tex][tex=5.714x2.214]qJCV9oMuCSSbqVGRrFO0fgzGer+8cowRMEY/q7saND1VZcMm3c/gp4v2785WPxpm[/tex]其中[tex=0.571x1.286]B2ovqsb3k1n+9dueLzQ98w==[/tex]是各[tex=1.643x1.286]LBfnSXkQ0s+D60c4nHWFfi6/Z1UyYRIwX7rrS1gGTiY=[/tex]中的最大直径。

举一反三

内容

0
设一平面薄板（不计其厚度 )，它在 xy 平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域 D. 如果该薄板分布有面密度为 [tex=2.929x1.357]me1iakuzTDv8yKNgo0wtjw==[/tex] 的电荷，且 [tex=2.929x1.357]me1iakuzTDv8yKNgo0wtjw==[/tex] 在 D 上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。
1
已知[tex=6.071x1.286]GZbiT2P8T8KVyVUEWQpYyjIiVTkGekbnZrmhPI/Gp54=[/tex]有下列关系;(1)如果[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]不真包含于[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，那么[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]与[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]不全异。(2)只有[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]与[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]全异，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]才不真包含于[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]。(3)[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]与[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]相容但[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]与[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]不相容。请推出[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]、[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]与[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]、[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]的外延关系，写出推导过程，并将[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]的外延关系表示在一个欧拉图中。
2
设[tex=5.143x1.286]YqE2Dt4SMU9kkPOzJzH2J6VnqBD0pvevQL4aKxE6hi8=[/tex]在有界闭区域[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上具有二阶连续偏导数,且[tex=6.5x2.357]V9fVXReHUrcmKJSTnoNlS4XbNmXVwPgT3piao8uB85WOFSwwr8OAdUgKoKW0RsgTn/bgN8U6DEq1w0Gm+8nZnn9s+xA5LL1BkH5UoAQtGYcFof8IdP1KV7FE1NlHMQqM[/tex]，[tex=4.214x2.357]V9fVXReHUrcmKJSTnoNlS4XbNmXVwPgT3piao8uB85UtDT+GjEsNLPZWzK1vzrpjrrpUbl27Ih8y2ey+JHRybw==[/tex] 。证明[tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex] 的最大值与最小值在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 的边界上取得。
3
画出积分区域，计算二重积分：[tex=4.786x2.643]PJs+7KH65mpfqz/b7Z3ibl0VeQZlTLPDd4uYG+cpTBvAuX0YDY67SnRw92mVnf/8[/tex]，其中[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]是由圆周[tex=4.929x1.286]G3meK0P7VmnhW/mMjZwI6zKp0uDCtV0Dmho6Pmbjzok=[/tex]及[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴所围成的右半闭区域。
4
已知函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 内解析，试证当满足下列条件之一时 [tex=5.143x1.286]PP7yOxoveTUSv/re/Y19+V2NaaPeG58uwWRQwiytks4=[/tex] 。（1）[tex=1.786x1.286]DfdgwuhLzyUI6z4y7FA5eA==[/tex] 或 [tex=1.786x1.286]DtqwSfpJ6WSoGgEtGodXPw==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 内恒为常数。（2）[tex=1.071x1.286]f7fyRK/Yho2OWBOVLsCkUA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 内恒为常数。（3）[tex=1.786x1.286]3ei0lKEDoPnD38qhYMj3BA==[/tex] 只取实值或只取纯虚值。（4）[tex=0.643x1.286]9TE4Z5DqpD7nj506gflqN70DMpsCgX3K24S38QqyZX4=[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 内解析。