设有一平面薄板（不计其厚度），占有[tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex]面上的闭区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]，薄板上分布有面密度为 [tex=4.286x1.357]/vDaxvmJ7UQXmZiLpn0lng==[/tex]的电荷，且[tex=2.929x1.357]me1iakuzTDv8yKNgo0wtjw==[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]。

2022-06-27

设有一平面薄板（不计其厚度），占有[tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex]面上的闭区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]，薄板上分布有面密度为 [tex=4.286x1.357]/vDaxvmJ7UQXmZiLpn0lng==[/tex]的电荷，且[tex=2.929x1.357]me1iakuzTDv8yKNgo0wtjw==[/tex]在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]。

答案：

解   用一组曲线网将[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]分成[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个小闭区域 [tex=1.714x1.214]v68oRZuZlG4gZVtG8ngOKbzamH475hZ0dqLKcpKx+kQ=[/tex]，其面积也记为[tex=7.929x1.357]v68oRZuZlG4gZVtG8ngOKQiffij6FRS16eAPlmLggTxW03aT+d695R5OTDgxVaIa[/tex]。任取一点 [tex=5.143x1.357]/xGmPvEQzz9KzFlHjFZIRAIqxHraNHPCjJ0xR8Yd7Bkv6Js9gmphYA1Ve6KSqbVcvnjmeRlrgsgHsLxq/N1gTw==[/tex]，则[tex=1.714x1.214]v68oRZuZlG4gZVtG8ngOKbzamH475hZ0dqLKcpKx+kQ=[/tex]上分布的电荷[tex=8.429x1.357]hNw5l+f1zDrACpDDBMAQ+CG1mXjx5vjcoeVdJNmdciusgUcYYeSaUhi8N2Dkf+cbgl5ltAV2dyBUng6nK5o4mHHuwywI0ow6jj0XkouAdNA=[/tex]。通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为[tex=10.214x3.286]BkVuj0hFlXbJouPSjj6+fbbLPkx0URuZLY6ER74jD7qFM94C/9CxpCfHXDZP4Mu7Ml+4uVQUxZl5xmq0O61SjpwNYGhMmW9pWa6dPYYpOK2NuroKEbGsZT8ySUgCpHGkHsQhFJ/dAU5eG+01JNA0Gw==[/tex][tex=6.429x3.357]eNJJMEPG2fYGD6NWwTeuRFJkZHBurVgbrkXx/NZmSnZysdyEW6PSE5gxAlq7X2POLLcFe6JTeOMLakzHzyF4CGj28AQ2ZjZMaBHHsws39Es=[/tex]，其中[tex=10.214x1.714]v3VjbHM0zQl2WMgYZgy5zKMLlktlVmFvGkZV01n8c2PNzKVrWbk7tY6R9jHO46j5mIA8CnFB/1TNvAk6eTMddf0Y+7b5odP4z8VWtCR4o9rRTdokfAetxpjNcX35j3kd[/tex]。注   以上解题过程也可用元素法简化叙述如下：设想用曲线网将[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]分成[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个小闭区域，取出其中任意一个记作[tex=1.143x1.0]HlxbezA1MHOdkKAuOS690UQqH3jmzIvytjxVegKXp5U=[/tex]（其面积也记作[tex=1.143x1.0]HlxbezA1MHOdkKAuOS690UQqH3jmzIvytjxVegKXp5U=[/tex]），[tex=2.214x1.286]S6NgNKNoH80dgKR3db0eeg==[/tex]为[tex=1.143x1.0]HlxbezA1MHOdkKAuOS690UQqH3jmzIvytjxVegKXp5U=[/tex]上一点，则[tex=1.143x1.0]HlxbezA1MHOdkKAuOS690UQqH3jmzIvytjxVegKXp5U=[/tex]上分布的电荷近似等于[tex=4.071x1.357]Iq6/8nKMhFGH3sekZdbYdiXSFMqd7jBIp91nnLP6hIk=[/tex]，记作[tex=6.143x1.357]B8aqnL4LjVuHT+fEsDToopLVQeF5amCo+d/L6SuLkZ6I5NrdlpqEs/Rcmqu1zSKD[/tex] （称为电荷元素），以[tex=1.357x1.214]1D3abUX+LBLaF8s4hHUz3w==[/tex]作为被积表达式，在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上作重积分，即得所求的电荷为[tex=7.214x3.357]VaI/goP6iEH4pOY86Q/pIFp7hceTWi2lpsVGw2625az8/SUBVYqOobFif6bhFugBaEHMfGtW9yJB1s/NTFx83K2fH1reYJS2eFiyHJsdufU=[/tex]。

举一反三

内容

0
设一平面薄板（不计其厚度 )，它在 xy 平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域 D. 如果该薄板分布有面密度为 [tex=2.929x1.357]me1iakuzTDv8yKNgo0wtjw==[/tex] 的电荷，且 [tex=2.929x1.357]me1iakuzTDv8yKNgo0wtjw==[/tex] 在 D 上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷。
1
将一平面薄板铅直浸没于水中,取 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴铅直向下, [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]轴位于水面上,并设薄板占有 [tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex] 面上的闭区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex],试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力.
2
如图所示，将一平面薄板铅直浸没在水中，取[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]轴铅直向下，[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]轴位于水平面上，并设薄板占有[tex=1.857x1.214]9MyvfP6suw061y0q+3l3oA==[/tex]面上的闭区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力.[img=196x186]1775b63f1a42cf1.png[/img]
3
若复变函数[tex=1.714x1.357]5MS81DEu8GlvwHZ9WbpsJg==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上解析并满足下列条件之一，证明其在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上必为常数：[tex=1.714x1.357]5MS81DEu8GlvwHZ9WbpsJg==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上为实函数。
4
若复变函数[tex=1.714x1.357]5MS81DEu8GlvwHZ9WbpsJg==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上解析并满足下列条件之一，证明其在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上必为常数：[tex=3.071x1.357]c8f8pYOWcLRchWEduA0fr2B+QR6ICKUsSQQc6OSG32PB7nvzzgaogJXeA6DpMAh3[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上是常数。