证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.
证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设[tex=5.429x1.0]cqmEjQB6gAFwALVjJ5IjiZK5TediDA8QE9yhxmPGe517V7ST6l5duXscBYQ0x9nr[/tex]是齐次线性方程组的一个基础解系，且[tex=5.5x1.0]DkQMvCDF/4vyPYjHN/R9laASE4B7WXNsLTA0fceQ8N8=[/tex]与它等价, 则[tex=7.071x1.357]AHK0WmE4lcixgH0tc9s+mg/zQD8tp3LvfjoqgTRKxh8=[/tex]可由[tex=5.429x1.0]cqmEjQB6gAFwALVjJ5IjiZK5TediDA8QE9yhxmPGe517V7ST6l5duXscBYQ0x9nr[/tex]线性表出, 从而[tex=7.071x1.357]AHK0WmE4lcixgH0tc9s+mg/zQD8tp3LvfjoqgTRKxh8=[/tex]也是原齐次线性方程组的解.又由题设知[tex=5.5x1.0]DkQMvCDF/4vyPYjHN/R9laASE4B7WXNsLTA0fceQ8N8=[/tex]线性无关，且[tex=5.429x1.0]cqmEjQB6gAFwALVjJ5IjiZK5TediDA8QE9yhxmPGe517V7ST6l5duXscBYQ0x9nr[/tex]可由[tex=5.5x1.0]DkQMvCDF/4vyPYjHN/R9laASE4B7WXNsLTA0fceQ8N8=[/tex]线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]也都可以由[tex=5.5x1.0]DkQMvCDF/4vyPYjHN/R9laASE4B7WXNsLTA0fceQ8N8=[/tex]线性表出，即证[tex=5.5x1.0]DkQMvCDF/4vyPYjHN/R9laASE4B7WXNsLTA0fceQ8N8=[/tex]也是方程组的一个基础解系.
举一反三
内容
- 0
齐次线性方程组的基础解系就是其解向量组的最大线性无关组
- 1
对于齐次线性方程组，与其基础解系等价的任何向量组都是其基础解系。 （ ）
- 2
如果在齐次线性方程组的基础解系中添加一个不同于基础解系中任意一个向量的非零的解向量，则新的向量组线性无关。
- 3
下列关于齐次线性方程组基础解系的说法不正确的是（ ）． A: 基础解系是唯一的 B: 基础解系中不含有零向量 C: 基础解系是线性无关的向量组 D: 齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的线性组合
- 4
对于齐次线性方程组，与其基础解系等价的任何向量组都是其基础解系。 （ ） A: 正确 B: 错误