证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，[tex=4.714x1.286]Z8aG89xW2CqlsynXFeJHokpsWeKF/J7TY8AfbMD4wWw=[/tex]函数[tex=8.0x2.286]EMf8WcZFyeEJ0WxhFUiQqRhsPFPiDVyC78SdxdvnJFIgKuCsZpdbpqgwMzQgMO3V[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上连续。

2022-06-30

证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，[tex=4.714x1.286]Z8aG89xW2CqlsynXFeJHokpsWeKF/J7TY8AfbMD4wWw=[/tex]函数[tex=8.0x2.286]EMf8WcZFyeEJ0WxhFUiQqRhsPFPiDVyC78SdxdvnJFIgKuCsZpdbpqgwMzQgMO3V[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上连续。

答案：

证明 因为函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，于是函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上有界， 即[tex=3.429x1.286]YxFSUA25mzO8YjPq/oZh4Q2VSNwLg9nXfsUC7/RcvYs=[/tex]，[tex=4.143x1.286]jO1MHIiCLteA7bXGSJLw0luHw7oo4aIo3ko/Y9DoK4Y=[/tex]，有[tex=4.786x1.286]/hf7Alj5Jxc0N2aISaMV/Q==[/tex]；对任意[tex=4.143x1.286]jO1MHIiCLteA7bXGSJLw0luHw7oo4aIo3ko/Y9DoK4Y=[/tex]， 给自变量一个增量[tex=1.429x1.286]d4gpE9CLD0i3xtlUcii7Rg==[/tex]， 使[tex=6.714x1.286]34kFJucC8Vy4RF0eyChX9P2D67X4Wmd4cL9Gp+QqoiQ=[/tex]，[tex=26.214x6.071]SMCiZCjCLMG8LLJWa9iOzCyubKSCULOsaeLjYq2zJNZtBYKdd4lO40J88guJJ8RKFRglIM6ZpHqj0aIBFZFnHa2rcOqk4MHX/H4XzWZdpjGEkUEZHHJEAuJ9+1qQQj5oLnfyyZRtGXJpk+b6IuFkG5csIamitWfEL8WDibH49XGAWpl1mSKlYfzu5HRcFwaMRDTtY0/wmdo1bA8VxXd6/xqoDVfUWuM6aUFcqiLavBgv3p0WxGdFYi/Qmeq4NKbo5tL5L9JUcePRlwRXTjLZ6qrc8DfWs9mFXKyollf1ogHi3Fu13L92m+5yVSAhOuxPA6JAQ+Lmdwnj4Hsp6BhcjI92N3AmeqD9o53qQpUJ/jQRKk5a/bmzulRLhK9LXfdfqoxYKMc98sSh0h71A1OpGesUgWH+xlI35ptnMSKVdJQ=[/tex]于是[tex=10.357x1.571]8+/oqxHVkhUml0LAR1kATnq6F5s90nvu5Ren0B6O5kfa8qvMPTDx1qrLC7IAHOJ9PdSD1PQ4J1li52yMThlNAQ==[/tex]， 所以说函数[tex=7.571x2.286]EMf8WcZFyeEJ0WxhFUiQqbB+esvsia6GGdsjC9ARsLGR0g1MHkspNAtm0d2sIL4y[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上连续。

举一反三

内容

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应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]一致连续。
1
证明：若函数[tex=1.857x1.286]uIwmjAPa36xB0tHn76p4aw==[/tex]在 [tex=3.0x1.286]hB4XLZUHLInEwOBJpAApFA==[/tex]连续，函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，且[tex=12.143x1.286]0yFTNkcCeqvwJCm20B0p4Ec4rCrnak5J9VhadnkD9izmuLKOwXvuu3VQlH8/5Up3[/tex]，则[tex=3.071x1.286]MyR6gM6vRhi2Zc14h8dqlNkoNzoNdTDdkT/5RAiOr/o=[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积。
2
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=6.714x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzYsKbxS+lPuYoFwuI9XhYxAiEUcIxK0tGWtktnw0xLsS[/tex]，则 [tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex] 。
3
应用致密性定理证明闭区间连续函数的最值性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 取到最小值[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]与最大值[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]。
4
应用一致连续定义证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]与[tex=2.286x1.286]VF4kZrJI2Vr32V8e+QjbaQ==[/tex]一致连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]一致连续。