设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，且在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上[tex=6.357x1.286]19AecwdwvNVfdOsyz6J9QmTj611rSMSdFKe4LOSvW8s=[/tex]，证明[tex=2.071x2.214]MsdfYKWS1JwEmW1/gUhxyRYVxQUbs1s9yPmIw//E4gQ=[/tex]在[tex=2.429x1.286]ujmU+pDh4daDjQKnDYPPYQ==[/tex]上也可积。

2022-06-30

设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，且在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上[tex=6.357x1.286]19AecwdwvNVfdOsyz6J9QmTj611rSMSdFKe4LOSvW8s=[/tex]，证明[tex=2.071x2.214]MsdfYKWS1JwEmW1/gUhxyRYVxQUbs1s9yPmIw//E4gQ=[/tex]在[tex=2.429x1.286]ujmU+pDh4daDjQKnDYPPYQ==[/tex]上也可积。

答案：

证明  因为函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，必存在某一分割[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]，使得[tex=7.214x2.714]RfHbnCzZh6Sm4+QTHePHiFlmh8pjOm/IsNYXT+4mYal0mClcUMOvAJBNytsYwcJqwWb3SG6dQqI3S/8KZy32sg==[/tex] 。 设 [tex=0.857x1.286]w6CfJ9Q+VCCmKB8owev3Rw==[/tex]，[tex=1.071x1.286]Wq9dnaKwWexuOOXWPyMwUIQqEun93fApPdfNzN1N41Q=[/tex]是属于分割 [tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]的小区间[tex=1.643x1.286]7k4yijNU+RtsEZR7lHc2VP0pYlx0TJpO4rUocBRdpts=[/tex] 上的任意两点，则[tex=14.071x2.286]Luq9hNNiPTM7vD5+J+A0IXnsRzpRQFOi9vNeNZ+/4H1Jg2KC62LkpfqngLrmQLtFvBdRx6WJA6NQ0kVpHEvBdKY6ukhoSPmI/qhgjylTnu9grdYh88yoOQEvYD7MUWDu+knUObXR1S0ZLuP5JUnmIIlENVswIuv2bePdk4aeR8cU+OFXzPRuscBQhFmeCMzsQuc3jF1Fw0o7AX6hEAv630V0OR/EmVsfKoowDCJBo+LI9o4gbfWH082O6Yf1TpN2icwpuHk4Z461xaI55aU31w==[/tex]，用[tex=0.929x1.286]p1TxQqPuo8zKGXbH0YLUjVdf2YbIE3YuWsfWJD6PLhM=[/tex]表示[tex=2.071x2.214]MsdfYKWS1JwEmW1/gUhxyRYVxQUbs1s9yPmIw//E4gQ=[/tex]在[tex=1.643x1.286]7k4yijNU+RtsEZR7lHc2VP0pYlx0TJpO4rUocBRdpts=[/tex]上的振幅，则有 [tex=3.714x1.786]X2s+HiuJqtyJPP0Xr5edLnwxxCbRkj9PWoJdOVR0pd3EER3Mzz4c1a/Kk2Z4KXc8Dn8pqvE62T43yBtPvBRmug==[/tex]， 所以[tex=18.357x2.714]RfHbnCzZh6Sm4+QTHePHiJT0I0rnSvkEXxyaSIXnBTsRxeDtG6GYSeZS/40UXpQ4s4MN2KsNQhSwhEgISpjdSl5nzEujZ352VxCwgDSiiDULa0HJ0r93glL9Cz9rlRL9xbpJhGaLQ81UYcJp5/1KUYB7UPKqOLy9UbOUyi8IsUsyhD++X1BojriNNel4uYkstFwxt6Ha4vtcW+cdNXxeqXXPEMaqSkdVWWILtH1LVRE=[/tex]，从而[tex=2.071x2.214]MsdfYKWS1JwEmW1/gUhxyRYVxQUbs1s9yPmIw//E4gQ=[/tex]在[tex=2.429x1.286]ujmU+pDh4daDjQKnDYPPYQ==[/tex]上也可积。

举一反三

内容

0
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 除一个(或有限个) 第一类不连续点外连续，则 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]有界。
1
应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]一致连续。
2
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=6.714x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzYsKbxS+lPuYoFwuI9XhYxAiEUcIxK0tGWtktnw0xLsS[/tex]，则 [tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex] 。
3
应用致密性定理证明闭区间连续函数的最值性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 取到最小值[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]与最大值[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]。
4
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与 [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=10.786x1.286]oft7u4bm8J36KlCnLjxu4T+QPplOph1C5nRHIBwQK00=[/tex]与 [tex=10.571x1.286]FQWP0IoO+1FZLLkdaO8ZLFmEjUtE1Cz28PYCGsRzPkv4rZiEoVx2wLN/ykjFevsb[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]都连续（提示：[tex=10.786x1.286]oft7u4bm8J36KlCnLjxu4T+QPplOph1C5nRHIBwQK00=[/tex][tex=13.214x2.0]F+ehlUHSlMNJnD9bwdvHfo9itw6nyR2Ckwecj7tiniXYoKfF17Y2geRgUijeJu4r[/tex]与 [tex=10.571x1.286]FQWP0IoO+1FZLLkdaO8ZLFmEjUtE1Cz28PYCGsRzPkv4rZiEoVx2wLN/ykjFevsb[/tex][tex=13.214x2.0]F+ehlUHSlMNJnD9bwdvHfvG3PZKFAjt1l/gZaejV46TnOBiN33vHENDkeZi5LZNr[/tex]，也可用连续定义证明)。