应用致密性定理证明闭区间连续函数的最值性。 若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 取到最小值[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]与最大值[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]。
举一反三
- 应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]一致连续。
- 证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 除 一 个(或有限个) 第一类不连续点外连续，则 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]有界。
- 证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，[tex=4.714x1.286]Z8aG89xW2CqlsynXFeJHokpsWeKF/J7TY8AfbMD4wWw=[/tex]函数[tex=8.0x2.286]EMf8WcZFyeEJ0WxhFUiQqRhsPFPiDVyC78SdxdvnJFIgKuCsZpdbpqgwMzQgMO3V[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上连续。
- 证明：若函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且非常数，则函数值集合[tex=9.857x1.286]+YWw8+76uLmKb7sjJxqPMZk9Rv+3xHF8ynM5KnFh+AI5Q36AuEZ7hsUphGQdXHUF[/tex]是一个闭区间[tex=3.357x1.286]zq2KZ5WkFZOurpmm+n7+mQ==[/tex]， 其中 [tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex] 与[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex] 分别是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex] 的最小值与最大值。
- 证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，则函数 [tex=2.857x1.286]Sgpgmul/u9K+zCMt4I+NIZhyR7WwOf6O1bu2im+T4+w=[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]也可积。