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  • 2022-06-27
    应用致密性定理证明闭区间连续函数的最值性。 若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex] 取到最小值[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]与最大值[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]。
    • 证明  函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]有界，即函数值集[tex=7.857x1.286]8QvSewXaxL7XDQ5wbpieJso2MPYRC268q6CNMfp4Re3yTuOIKWcOGWM9XDfddwNb[/tex]既有上界又有下界。 根据确界定理，函数值集 [tex=7.857x1.286]8QvSewXaxL7XDQ5wbpieJso2MPYRC268q6CNMfp4Re3yTuOIKWcOGWM9XDfddwNb[/tex]既有上确界又有下确界，设 [tex=11.071x1.286]6Tmk96eY0e2pL0HeGefl7yvKRk4F652SyLojzIrwj87yde19F8UTnvu1gIgs6O7e[/tex]与 [tex=10.857x1.286]6UPnLMOVDYXCEAAoI/ZW5HTscoDPMrPagvquxwv8gwaWPqJV9RrWOHw069KFiDwJ[/tex]。下面证明函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]取得最大值，即[tex=5.143x1.286]6/TwWvjeINLJnZDSANP+ynNvu2c9i8m7qeVTQQOf46g=[/tex]， 使 [tex=4.286x1.286]5zET9n/RJxMEroNltOnqwuRMYxr35Xg8v2pYCWGqcYQ=[/tex] 。 由上确界定义，[tex=2.786x1.286]joguGSInidzw2xc+WzmvAZad/jjxgQdNyh+mayOOv3Y=[/tex]，[tex=5.143x1.286]6/TwWvjeINLJnZDSANP+ynNvu2c9i8m7qeVTQQOf46g=[/tex]， 使[tex=7.714x1.286]AjJVoFuuCZFLe0MVcYUJn/a4YL6/nrc2OgPBeV3f1VJj3Qze8h+IUgl2RN2Ilso7a2q9YCQAkJdkQUSZqDlSlw==[/tex]。取[tex=4.071x1.286]sYrdVczPWd5P9wWL1Qxy/JEhRy8h/FEJPMsXoiIEZog=[/tex]，[tex=5.143x1.286]+HLtqgZlLbXV37Xs1nWmQCDywwkFywGfXTcuFEQLEbM=[/tex]， 使[tex=7.714x1.286]GE5kaho1vyaukX8+GUYtbkvcrIPKn35VF6D/Ihmi4mn8bhXdyBJXRd3NBmZLYGZj[/tex]，[tex=4.286x2.0]O399vCUxcyMnTqVrru9U8FJmczn+80y4JQmk5oIjDu4=[/tex]，[tex=5.143x1.286]G0cm/mhhkRjxUkUHpR2RO+zt2GSKEu49S2loXX28kaY=[/tex]， 使[tex=7.929x2.0]Aud+C9rc+uBCvmqrp9r02Blp1K5LgV1ZviDpxOfH5a+1BkwL+oqKya5UT3ZypGngT6Xwi8OpfkLazBbo1nQM1g==[/tex]，[tex=2.429x1.286]3Gx+w8/l9JPpDpkuMqGayqSdLoyOVvZ9mY9QSWDgOTE=[/tex][tex=4.357x2.0]O399vCUxcyMnTqVrru9U8CrLYl5AyleYzOMofHqnsDQ=[/tex]，[tex=5.214x1.286]Dt5z5N3YgVAMWb0/JXpmeZsaPzgEYoTy4RDUWGhr7oI=[/tex]， 使 [tex=8.143x2.0]dINWyGwcB3r8PwnE/aRW//jCSzVbGHeDjn7fp/b55EVeQkXF4LlCdtzefV7j9h+I5Jn4KVKaj7Fk2CyYCJGAEA==[/tex]，[tex=2.429x1.286]3Gx+w8/l9JPpDpkuMqGayqSdLoyOVvZ9mY9QSWDgOTE=[/tex]从而，构造一个有界数列[tex=2.071x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8oSs3HIBjY40i45K0YJKMQE=[/tex]， 显然，有[tex=6.571x1.571]dA+YoNfNqgf1RYDqCjrjbbXH8E8bQ8SMAiSfEhVIrq5YsJ/nGJF4vpkzphIXBS7PB5D14CDnaKY5DseMKM1mHw==[/tex]。根据致密性定理，有界数列[tex=2.071x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8oSs3HIBjY40i45K0YJKMQE=[/tex]必有一个收敛子列[tex=2.5x1.286]Q3e9YqC8luUHOhtInV+hXJLgsyUjSbCK2pu2YoCuKUc=[/tex]， 设[tex=9.0x1.571]H45UpFaZN9hdohh5WBdvnKlZpWDaQyImZ3iVxYCCUDW9UCKg4uyfh7ygJmuxN+yM5iC449Kc7W3vxmKhR2vVzA==[/tex]，有[tex=7.5x1.643]dN+ZbiiEc2FgivmlTSb6y+oQkUipVig52HAZoJL2WnMzvaTyqNxtiQJd+qyZxqdkEhv5/LWWyGpnwvzKVWloXw==[/tex]。已知函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.0x1.286]5PBm7Rex1+3Bx6Y1vbx1pg==[/tex]连续，即[tex=7.857x1.643]/N7iQJH5tJ1CHV4Wb82/t9RzIzLv+/crAZVbdTrulCtaVxSRWMe9RGkE8ZSlUGxEo4D29OTtm7zoNt85SWinLA==[/tex]。于是，[tex=16.571x1.643]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGBYsSNetA24470OgVqrJ1SKTf7pWIh0aHyfhAMVXZOs9jjaboDrOknBmkPvEiavRspIp5OFyFkJvhkGAyTbWj2gEoRZozoEU0cFL9Fgm2R/8SCaRusjHaN8CPnQa6Tcg1yPELDV0PCSilogYsyE1P6s=[/tex]，即函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=4.571x1.286]R98qZDQOzdaPjtUtf10Kb/8VUcGTmiOFEpVFgeO4UBY=[/tex]取得最大值[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]。同法可证，函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在点[tex=4.0x1.286]kszBZIzwTbTTRXKUDMUy7G9cWwFAuHXo7pTvrUBpds8=[/tex]取得最小值[tex=0.571x1.286]IvGNOcnlsPar7nw7Fd55Kg==[/tex]， 即[tex=3.571x1.286]17FgBIIsKS5UNlciqRGjjg==[/tex] 。
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    举一反三

    内容

    • 0

      应用一致连续定义证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]与[tex=2.286x1.286]VF4kZrJI2Vr32V8e+QjbaQ==[/tex]一致连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]一致连续。

    • 1

      证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=6.714x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzYsKbxS+lPuYoFwuI9XhYxAiEUcIxK0tGWtktnw0xLsS[/tex]， 则 [tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex] 。

    • 2

      若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上可积 ，[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]与[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上只有有限个点处不相等。 证明: [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上可积， 且[tex=9.929x2.5]14xDmLJt4isLwqieEHGEwMATzfZioF6Ob4kHyWKRwI02Boav6J2K5sD+vOo0ypJSc9qJazfEIftbkNdMx1C4Sw==[/tex]。

    • 3

      证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与 [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，则[tex=10.714x1.286]W/XrFzJTcqqLwDu982YtKoFjuWvOa1cyPn8xCcLcXey56DFItHGZqCzIK6HRZrrb[/tex]与[tex=10.5x1.286]QTDUTWEtyd7ak9ifLlqO7dAPP/k6ZQrQNNwMpCiNhW2HLeTI/DZfre+GNetAQbA+[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]都可积 。

    • 4

      应用确界定理证明闭区间连续函数的零点定理。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续， 且[tex=5.429x1.286]X7mu1bQAI43TOgCZSV94BZX8fXDFGukLQCTlsfQQ+aY=[/tex]， 则在[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex] 内至少存在点[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]， 使[tex=3.571x1.286]pxO3RAw3vxt+S/M/HxOVvQ==[/tex]。