举一反三
- 设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个满足第一可数公理的空间，证明：[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是Hausdorff空间当且仅当[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]中每一个收敛序列都只有一个极限点。[br][/br]
- 设X是一个[tex=1.0x1.286]rIp/+zQfCOBqyYIT+1a8eg==[/tex]空间，证明：如果X有一个基只有有限个元素，则X是个只含有有限多个点的离散空间。
- 设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是连续映射，证明：如果[tex=0.786x1.286]YmC97Clv6J6k2IyNV61eAw==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的一个连通子集，则[tex=2.143x1.286]lYyNPJbhUCYK1wTeekhvmA==[/tex]是Y的一个连通子集。
- 设Y是一个离散空间，并且含有不止一个点，证明：拓扑空间X是连通的当且仅当每一个连续映射[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]都是常值映射。
- 设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间，令[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是一个连续映射。证明：如果[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个可分空间，则[tex=2.214x1.286]Pg+l0RmQux/c4VWlzlwt1w==[/tex]也是可分的。（这说明可分性是一个连续映射所保持的性质，并且由此可见，它是一个拓扑不变性质，可商性质。）
内容
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设Y是拓扑空间X的一个子空间，[tex=2.5x1.286]eE5MadPLJiAKqfDF0T7eGg==[/tex]，证明：如果L是X的一个子基，则[tex=1.571x1.286]Kzx1vlQmylEt2nofDvFV/A==[/tex]是Y的一个子基。
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设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个正规空间，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]中的一个闭子集，[tex=4.429x1.286]9E9uCRlEUVwjmCjRwUWN7yD2hR09oSuHV8RYVI/P1DE=[/tex]是一个连续映射，证明：有一个连续映射[tex=4.643x1.286]LtyHmSkiamQwqmWJV/457i2Nvqate5YQFh9d8o5hJ18=[/tex]是映射[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]的扩张。
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设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]为度量空间，并且[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]有一基只有有限个成员，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]必为只含有有限个点的离散空间。
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设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]是一个离散的度量空间. 证明:如果[tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]也是度量空间 ,则任何映射[tex=3.786x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMi1uu1iRskNUlgfpNYbs1U=[/tex]都是连续的.
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设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]是一个离散的度量空间。证明：如果[tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]也是度量空间，则任何映射[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]都是连续的。