设[tex=2.5x1.286]pU2qFDk4gZnIUekzg5sstg==[/tex]是一个度量空间，证明：作为拓扑空间[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个离散空间当且仅当[tex=0.571x1.286]mGHbklYlBVNXKEGAelwITA==[/tex]是一个离散度量。
举一反三
- 设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个满足第一可数公理的空间，证明：[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是Hausdorff空间当且仅当[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]中每一个收敛序列都只有一个极限点。[br][/br]
- 设X是一个[tex=1.0x1.286]rIp/+zQfCOBqyYIT+1a8eg==[/tex]空间，证明：如果X有一个基只有有限个元素，则X是个只含有有限多个点的离散空间。
- 设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是连续映射，证明：如果[tex=0.786x1.286]YmC97Clv6J6k2IyNV61eAw==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的一个连通子集，则[tex=2.143x1.286]lYyNPJbhUCYK1wTeekhvmA==[/tex]是Y的一个连通子集。
- 设Y是一个离散空间，并且含有不止一个点，证明：拓扑空间X是连通的当且仅当每一个连续映射[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]都是常值映射。
- 设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间，令[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是一个连续映射。证明：如果[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个可分空间，则[tex=2.214x1.286]Pg+l0RmQux/c4VWlzlwt1w==[/tex]也是可分的。（这说明可分性是一个连续映射所保持的性质，并且由此可见，它是一个拓扑不变性质，可商性质。）