设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个满足第一可数公理的空间，证明：[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是Hausdorff空间当且仅当[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]中每一个收敛序列都只有一个极限点。[br][/br]

2022-07-23

设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个满足第一可数公理的空间，证明：[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是Hausdorff空间当且仅当[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]中每一个收敛序列都只有一个极限点。[br][/br]

答案：

必要性的证明同本节定理1.5的证明，下证充分性：[br][/br]设X中每一收敛序列的极限唯一，若X不为Hausdorff空间，即存在[tex=3.071x1.214]sYt8XWHaeTq9OtcXzW36z9BGIVoujVZv1llmwufwZkw=[/tex],[tex=2.429x1.286]n6v4K9UbKqHmpFn/DF8l+g==[/tex],对[tex=6.214x1.286]io9YsixPSamS6lRIqIKVOp9E0fm3qigGUUIco+A4g1g1LaA5MA7MWt0vt1ldXY/5V8VlIlDpeVcJ/Bhgn7J8lA==[/tex]都有[tex=4.5x1.214]UfyTEevdhu4S+gH4KTBuCF1fCk3FY4ziw0q59K5/ysw=[/tex]。因为[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]满足第一可数性公理，则分别存在[tex=1.571x1.286]JlnodDUVYW/AoLYvtgnhnA==[/tex]的可数局部基[tex=5.357x1.357]i3y2wt6uJ473P785V+qZ1OHmawzX1DX66YSb2Tekz3XzHAbkmpdM+nRdh6a4sR9H[/tex]和[tex=5.214x1.357]43nnQl2Uqwmq+YSZx1ETokeTaB7mt5FytLTVkCab826L0rSJHNaTMyC5aviYd9jV[/tex]满足[tex=19.357x1.643]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpOC1KER5WLQIbk546sL1Sflorx/EST3WVMnHxeOTFCssPwsvBtJTOfsTLRymnjeUXMpGAhWxXFzqJp3iAjyy5aqaFysGvOWo+VqFYm6MMqFMugG1XnsyWeAPq1PxbgjrjveRiNVRM4r02lNkY99Awjc=[/tex]所以取[tex=6.5x1.214]ecVifu4LudbaxI7+b7/6F8FU3o3RfD4x1JIWmlbq2LAmkEzgFRq82OwMYolM1Rn87ZGtvr2lWs+wRey93i8jlw==[/tex]，[tex=4.429x1.214]vViDXPBsMKJmJgyt82fLoe//eJfQ/coXOyNhQk2tJ7M=[/tex]则[tex=7.929x1.214]H7HNWBhnRd3JQ9QQPZQoXLdxyjeXdVFWhMVkiq2bgPxy1yrn7oZjrxoUTGVSA8fMruycyccqHtifuCnN8E9zKb5vThu4EG/h89CRZYK+r/E=[/tex]。这与原假定矛盾，从而[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]为Hausdorff空间。

举一反三

内容

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设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在数集[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有定义，试证：函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上有界的充分必要条件是它在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]上既有上界又有下界。
1
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]和[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]满足[tex=8.071x1.286]ZFZ1SaC6kd2T0Ebx6nk4oA==[/tex]，其中[tex=7.429x3.5]hB8sGfF8hpZRTKdvt1J/eLooTJlNrACsljScXK0Q7I2OknX2pkZZo8oHzLPkuXolKmJlgUX+TxX8OPkHG7gJ3vu9INNl987j1B7mc/EDcyi8Oq7505HTz54mn7xyRfRu[/tex]，求矩阵[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex] .
2
设[tex=2.5x1.286]pU2qFDk4gZnIUekzg5sstg==[/tex]是一个度量空间，证明：作为拓扑空间[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个离散空间当且仅当[tex=0.571x1.286]mGHbklYlBVNXKEGAelwITA==[/tex]是一个离散度量。
3
某厂销售收入[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]与利润[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的统计资料如表所示。[img=631x178]1790c8ce45dac14.png[/img]若[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]与[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]有线性关系，试求出[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]关于[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的线性回归方程。
4
设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个正规空间，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]中的一个闭子集，[tex=4.429x1.286]9E9uCRlEUVwjmCjRwUWN7yD2hR09oSuHV8RYVI/P1DE=[/tex]是一个连续映射，证明：有一个连续映射[tex=4.643x1.286]LtyHmSkiamQwqmWJV/457i2Nvqate5YQFh9d8o5hJ18=[/tex]是映射[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]的扩张。