设下面所考虑的函数都是定义在区间[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex]上的,证明:(1) 两个偶函数的和是偶函数,两个奇衣数的和是奇函数;(2) 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明:设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]是[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex] 上的偶函数,[tex=1.929x1.357]0fRX0V1rxv8nkoCpsr9nHQ==[/tex]和[tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex]是[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex]上的奇函数.

2022-06-29

设下面所考虑的函数都是定义在区间[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex]上的,证明:(1) 两个偶函数的和是偶函数,两个奇衣数的和是奇函数;(2) 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明:设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]是[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex] 上的偶函数,[tex=1.929x1.357]0fRX0V1rxv8nkoCpsr9nHQ==[/tex]和[tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex]是[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex]上的奇函数.

答案：

证明:(1)考虑[tex=7.214x1.357]hcdVQpdxM9qj0RdpAAmxT/RvLYsj+nLAffSD2trymtM=[/tex],[tex=17.571x1.357]9iOpwUjJse9vH8f6Y5txlcP+qq3tcvS8czgisbNl9ts4jWFn8Ya0hMaZutnncXiR[/tex],所以[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]即两个偶函数之和是偶函数;考虑[tex=7.643x1.357]wX97Ubo9FNPm3yLN5icgtO8FgwMaxtQ7enejk6z6vGY=[/tex],[tex=19.929x1.357]F1OD/MNVmrx/9RqgDVvh1bGBap5YkzWlVapVo++ATuZPRi+eUEfxbc4M0DKSiweTAt++/GRTHX4vXR9HeBRHfg==[/tex],所以[tex=2.143x1.357]bqX9vsWUVSZj54RncqlVIw==[/tex]即两个奇函数之和是奇函数.(2)考虑[tex=6.5x1.357]oTMRjIOzOH/o56LyOcAka3xJDYPn3H6i+5xPqWDlImY=[/tex],[tex=16.0x1.357]JRAtaQ//zVLv9FVmTxyzDufme0922vpTrvx2R6Ycd2LrOixEtamva0hfHRGe4gN3[/tex],所以[tex=2.0x1.357]JGIimJ0gsQwNToblSlzsJw==[/tex]即两个偶函数的乘积是偶函数.考虑[tex=6.857x1.357]lqyFnY7iO/cAl8aK5Y3dusNqF/JspXLvesYRhcLxVSE=[/tex],[tex=23.929x1.357]4jgBrRA3LOEyV6m+rPqYlDHQKAt6K7Z0mjYWlhQ05re77mGMya+S6gfzDHmETTxqGdDHv24ohiw+GGhg8DkWuRpd/Qcqf11IuqAKtoSOaoY=[/tex],所以 [tex=2.143x1.357]xa53XWRsz1DXvOhEpaAa7Q==[/tex]即两个奇函数的乘积是偶函数.考虑[tex=6.786x1.357]kKQ91QHalj3n6WXzkgZ8Okz/6aWRDk4lFp06WbvESno=[/tex],[tex=24.0x1.357]l38moo/ekM7/frpnzNeni/GOmA2VarqRv4sJs2jeFsAQX5CSmiS/zrW5e1EF3N1cRsKZxJTlqQLU64kYTtaSsw==[/tex],所以[tex=2.214x1.357]YtjvYlL1HGP5RFlWWBxBEQ==[/tex]即奇函数和偶函数的乘积是奇函数.

举一反三

内容

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证明: 定义于对称区间[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex] 内的任何函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以表示为偶函数与奇函数之和的形式.
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设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]定义于对称区间[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex] 中,若 [tex=5.857x1.357]2/CajCrYuPkcusvmGXFs+ULg/N2lHClKpOLQdPEJPkc=[/tex], 则称 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为偶函数,若 [tex=6.571x1.357]YvMFAMgU7kcpfhs6qOjYAxROJB5fx9UoO5VTN/xhNvA=[/tex], 则称 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 为奇函数. 确定下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数:[br][/br][tex=11.571x1.571]6Qs+2vmvKAhlm6Dcia/l89ot8m2ecODfyiM2e5fEbQVmwjtmflVanwEsHxW1U0bf[/tex]
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设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]定义于对称区间[tex=2.5x1.357]0Ym3gy2gstdBTE13VS7w2A==[/tex] 中,若 [tex=5.857x1.357]2/CajCrYuPkcusvmGXFs+ULg/N2lHClKpOLQdPEJPkc=[/tex], 则称 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为偶函数,若 [tex=6.571x1.357]YvMFAMgU7kcpfhs6qOjYAxROJB5fx9UoO5VTN/xhNvA=[/tex], 则称 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 为奇函数. 确定下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数:[br][/br][tex=5.429x1.5]tVlEEVWFgOuzUNfqO6GF6A==[/tex]
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设函数是定义在对称区间[tex=2.643x1.357]6gMkjXUNZb5V+/elDc/XlA==[/tex]上，证明：两个偶函数的积是偶函数，两个奇函数的积也是偶函数，偶函数预计函数的积是奇函数 .
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设函数是定义在对称区间[tex=2.643x1.357]6gMkjXUNZb5V+/elDc/XlA==[/tex]上，证明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数 .