令[tex=3.357x1.357]UPaNvJfcVjX9mh3S818g8w==[/tex]为语句“[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]整除[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]”，其中变量[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]和[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的论域均为正整数集合。(所谓“[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]整除[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]”，是指存在某个整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]使得[tex=2.786x1.0]JyKu5Q0JmohTgp+FMz2hRQ==[/tex])确定下列每条语句的真值。[tex=2.929x1.357]9Vv4gtpaKbF7Mnn315YE6Q==[/tex]

从[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]元素集合到[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]元素集合有多少个部分函数?这里的[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]和[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数。

给出当[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]都是正整数时，求[tex=4.357x1.0]i7iOlTWM8DejLiB2FH7YuIaa5QLuIgGuLfpjfpZXt+E=[/tex]的递归算法。

使用生成函数证明范德蒙恒等式：[tex=14.857x3.286]hDB3eLQPiWWd9ft+Q14eoJVcUCay0ClzWlPckFv+3/imTEddfU462KDq1s/vFmay[/tex]，其中[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]、[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]是非负整数，且[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]不超过[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]或[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]。

在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶循环群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中,对[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的每个正因子[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],阶为[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]的元恰好有[tex=2.357x1.357]I7WR+56oxioGAfJdogeEKA==[/tex]个,其中[tex=2.357x1.357]I7WR+56oxioGAfJdogeEKA==[/tex]是与[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]互素且不超过[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]的正整数的个数.由此证明等式[tex=5.714x2.286]nTEU1zxElODdY/gXN0t775YvTSWohWMGbDnrVh4VF23x243jFy1z4djppMnI1Bzj[/tex].