举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是群,[tex=5.286x1.071]VvvX0GFuqWNzrMDUrg0hNQ==[/tex].如果[tex=5.929x1.214]WiIhW06O4h8DrzyJYgOSG//n94M5NRQ5+HQkzzjvS5punSAJ99du6II5VrE1GjPb[/tex],[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是否一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群?
- 群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非平凡子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]称为[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极小子群, 如果不存在子群[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]使得[tex=4.786x1.143]Dzl5s9mAcKaJyOhW6nnalZl2sR7LSXZSzGUFcgLlF5E=[/tex]. 试证: 有理数加法群[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]既没有极小子群也没有极大子群.
- 设[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群. 若素数[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]和[tex=2.714x1.357]YG7qvLS9bCYW3nMIPQNAvg==[/tex]互素, 则[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]包含 [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的所有子群.
- 试证有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex].结论对无限群是否成立?
- 设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]分别是群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的两个子群，试证[tex=2.643x1.0]lrQpQJjhcqz2IrqWzoz5oQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群当且仅当[tex=2.857x1.143]dn1vHZFzrDKY4vcBX/vnYQ==[/tex]或[tex=2.857x1.143]YsnD+QYv2kSLoW/sGeLXRA==[/tex].利用这个事实证明群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]不能表示成两个真子群的并.
内容
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用[tex=2.643x1.357]tBSlM2fLTYNixyNEH9Lflg==[/tex]表示群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的换位子群, 即由所有换位子[tex=10.286x1.5]WRiJ2gGqod7XpVTToXSV1iE6wsqVQJiQGwHQ3vmiTl3JnpCSMFNNd8Hc+SERbNk2[/tex]生成的[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群; 记[tex=18.643x2.214]PhKNI0MJsUPET9HvQo42gtsWkk3jL7Hv5UnHiWAeCJhYv9RQRYVQLD3fDLkFoRHqh0IeDafXr28FEt5ogIK912793H/joGi4rmnvv+lyLdA=[/tex]. 则[tex=1.857x1.286]tP8n+f9e74IcJyaYVD4zng==[/tex]均是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群, [tex=3.0x1.143]d9zXkTXCrg5bGYaK12YtRIzMYjDX2P1eLkW9U6QilKk=[/tex].
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设群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]在集合[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]上的作用是可迁的, [tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群, 则[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]作用下的每个轨道有同样多的元.
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真子群[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]称为群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极大子群,如果不存在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex],使得[tex=5.214x1.071]GXs9Ml7t4ZqYgZH/R2m5cg==[/tex].确定无限循环群的全部极大子群.
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证明:若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.
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设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数, [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的方幂阶的群. 试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非正规子群的个数一定是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的倍数.