令 [tex=4.571x1.357]FMtZzY2/gS6tAG25OMrsLA==[/tex] 是极小多项式为奇数次的代数元 .证明 [tex=4.214x1.571]JNspFB9Knxu+22c784DUwGs3c3IKHbnSl5cpZjh6nqQ=[/tex].
举一反三
- 令[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]、[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]、和[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]为集合。证明[tex=4.571x1.357]jLlMI0EzFCfuQ2lgaNqJhQ==[/tex]不一定等于[tex=4.571x1.357]gn7sgz8D7Kr7zAfGjxy/Uw==[/tex]。
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是次数大于零的多项式. 证明: 如果对于任何多项式 [tex=4.286x1.357]Txg9FRufl5MTdl37OkIC0Q==[/tex]由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者[tex=4.571x1.357]BO8Qu1csAGeU8R6I1RCy3Q==[/tex],则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.
- 6. 证明: 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式 [tex=4.429x1.357]xDE+DYVVlqrwETxnz6Xubg==[/tex] 由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex]或者[tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex]那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是不可约多项式。
- 证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
- 证明定理 5 的逆,即 : 设 [tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是次数大于零的多项式,如果对于任何多项式[tex=4.429x1.357]nk7bBPPOkQA2jD1gOYYpyw==[/tex]\由[tex=6.357x1.357]7oQUDUsfDA0XMBbIN/2LNbLVLVyrEv2RPJQjVwhQVD0=[/tex] 可以推出[tex=4.571x1.357]uCgBq8XLCEzWYqB+sTVtnw==[/tex]或者 [tex=4.643x1.357]UdRdMMueAtFLpyvyfSC4WWLqY1g1qwDWTY59fG7mHTs=[/tex],那么 [tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是不可约多项式.