若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于零的多项式且 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以整除 [tex=6.357x1.357]pGmCxVYMeXbY0RBdFv1lOoYMiK8I0KiEOR7VpOaifh0=[/tex], 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根只能是 0 或 1 的某个方根.

2022-06-06

若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于零的多项式且 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以整除 [tex=6.357x1.357]pGmCxVYMeXbY0RBdFv1lOoYMiK8I0KiEOR7VpOaifh0=[/tex], 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根只能是 0 或 1 的某个方根.

答案：

证明 将 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 看成是复数域上的多项式, 则 [tex=7.571x1.357]pGmCxVYMeXbY0RBdFv1lOiMsK93fgerUi3xqeK/qbYZW9Er05IdbKHJhbKHyC4uy[/tex]假定 [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的一个复根, 则 [tex=3.0x1.357]2f/RYKcpKQPYbzA218ixxA==[/tex], 因此 [tex=5.357x1.357]DbtyGHtYcsiC7HJu3Ztgix2ccjc10RqKB4i5xoDswRg=[/tex] 也是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根. 由此可知 [tex=5.071x1.5]aOO0n5hLE6rOq/+zaX2ENvT3R3vonoH1719YQ7IYfos=[/tex] 都是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根. 因此必有 [tex=3.571x1.357]n/OA6e+eLlnAoi5FS/wfTjI+nMZQas1VYLpcWVaiWVk=[/tex]. 所以若 [tex=2.286x1.214]uYwOUuBJfm52gURc2Esz1g==[/tex], 必存在某个正整数 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex], 使得 [tex=2.214x1.0]BEyVF8Lez4KaWM1sDEEI3Q==[/tex] .

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]满足[tex=7.357x1.357]v0EsoswsuaK89q34elWXwnX8Xx3QbYAbLMGq2vpPauw=[/tex]，求[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]。
1
设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的不可约多项式, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的多项式. 证明:若 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的某个复根 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 也是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根, 则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 特别地, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的任一复根都是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
2
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]连续，[tex=7.214x2.643]2ZJQOGzPP+WXkSjEhj0ot/8XbWpx0nNxKCDDSnV56LI=[/tex]，试证：(1) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是奇函数，则[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]是偶函数;(2) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是偶函数，则[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]是奇函数.
3
设[tex=10.643x1.357]34qmQkJPso549mvVjIQ1pAcxEUwluJaFgrzRToMAirsdxHHpEwEodeBJrcmfLGQA[/tex].用线性方程组的理论证明，若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]有[tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex]个不同的根，那么[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是零多项式。
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是一个次数大于零且首项系数为 1 的整系数多项式, 证明: 如果 [tex=1.786x1.357]7OQ6MnGIbo1txdlYbmL7wQ==[/tex] 与 [tex=1.786x1.357]jzGI6ryZy28xP+iLxVVAkA==[/tex] 都是奇数, 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 没有有理根.