设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=2.714x1.286]q3kLvZxTTYoikLzPPeM3vA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵，试证：[tex=4.786x1.286]ecvR25VqdNnwqu8xmCau28y+R9nZEB53yIixWyNVd7w=[/tex]为可逆矩阵．

2022-06-06

设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=2.714x1.286]q3kLvZxTTYoikLzPPeM3vA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵，试证：[tex=4.786x1.286]ecvR25VqdNnwqu8xmCau28y+R9nZEB53yIixWyNVd7w=[/tex]为可逆矩阵．

答案：

【分析】：要证[tex=4.786x1.286]rhseEAdrWJHWqiCf0ItQi/M8XT9yqHiY6ElrvDV5jFg=[/tex]为可逆矩阵，只要构造一个矩阵[tex=0.786x1.0]Yxbfa3mTK1muZDuxpts/xA==[/tex]，使得[tex=16.643x1.286]RhqN/eqMRzSCTNEIzsr/OPOj57emnpzszshfykcBn50t97HM20JWDDcotx+zYvRjmB8dFeNJitckAJrIoTKCuQ==[/tex]成立．证：因为[tex=12.071x1.286]RhqN/eqMRzSCTNEIzsr/OAP8ecbrv2Sk/ncxyjRTVAXcTplMq9aQJeXzz0GyCJGp[/tex][tex=15.214x1.286]UMJpn+A0udpNhctq9hjHuMVwv9nWHkpoLIk184wAJWkqVRCaaoF4Of0sg+D1irl/[/tex][tex=11.571x1.286]Q8MkWu7EkWRjBAm0oVbmNYb2e/+aExQhX2b5MMJuXJQmuO4NZucqaN5fBeCqNkCT[/tex][tex=13.286x1.286]Q8MkWu7EkWRjBAm0oVbmNUyCm6U/necFwB6f5YXeH/eR46d+eauRqyf1SS3mJEpi[/tex][tex=11.5x1.286]kCXROtPFMp6aJVuC5Cn/f0vzmIOXg9iMZR3tNEnxnNk+8FfdcnOaBp/ry2frhs3T[/tex][tex=11.5x1.286]cBz7GTyHOq7vs5AcpbFVCgWF6BSwIfeT8zz++2XlFUrsMVj4836IycQu0+J0HSOk[/tex][tex=5.643x1.286]BwvHq+tGO0Kb2xDfK1wCT7S/7FxsWVrIMwfS1ITpKt8=[/tex]．由本节第7题知[tex=14.143x1.286]iI4iV2+83yUPJVMgMSJ7R/jhiMlL51wCCtnG8/x+c+pXCUvZw34LOTEQMxagyB2bEbPq7NwjpGY3kY2bK4hNAQ==[/tex]．所以[tex=4.786x1.286]ecvR25VqdNnwqu8xmCau28y+R9nZEB53yIixWyNVd7w=[/tex]可逆，且[tex=13.929x1.286]RhqN/eqMRzSCTNEIzsr/OG8hqsbZaD2lfKpscHkliAxln8K0wdUDLy1RyLsNth0J[/tex]．

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]、[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 都是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵, 且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]可逆, 证明[tex=1.571x1.286]cHJ4KDAad01mWuGaiQQpfA==[/tex] 与[tex=1.571x1.286]TPNlNIVtJPoRyyIaBTqdfg==[/tex]相似.
1
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶实对称矩阵，证明：存在[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=5.357x1.286]K6zxAGBIogIIiD5GFofAx/pmcJwoRykyV8iSjArS8Ys=[/tex]，[tex=4.929x1.286]UzUiBuTu85eC8sat7ufimOL6HcqebYAko5n7tYXBrwA=[/tex]，其中[tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex]为对角矩阵．
2
证明:(1) 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为矩阵，则[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]有意义的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为同阶矩阵。(2) 对任意 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] ，都有[tex=6.286x1.286]f9BmKY0KXh740nvID3nNj0fFKPsoX9X3zKZONqYCrR0=[/tex]，其中[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]为单位矩阵。
3
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=3.643x1.286]rAf+GH2cLwL7F6W+/hBrDw==[/tex]，试证：[tex=3.643x1.286]69o6ALagbtWYYztBfO1ahw==[/tex]．
4
设[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]及[tex=0.5x1.286]r65Ank8E1dV+BtDCLn5S+w==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]均可逆，求[tex=5.5x2.929]dEdrC9SQsN/3Vx39SaFo4Bmx+mojFxOyI29cUcyJMUeCYFrsphZPadmZMBKaMwSmym0wLewvUprAVyrT/bnPow==[/tex] .