设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]为布尔环，即环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中每个元素[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]都有[tex=2.643x1.214]rGw4MkWcRtkyG2nvDYVhVw==[/tex]证明：若 [tex=2.643x1.357]lY19m87d4iVSMgivVn0dsD7I7TKqkVK+EMglhu5HHP8=[/tex]，则[tex=0.786x1.0]XNP4Jpyr7QiS9iMSbxewJg==[/tex]不是整环.

2022-06-06

设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]为布尔环，即环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中每个元素[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]都有[tex=2.643x1.214]rGw4MkWcRtkyG2nvDYVhVw==[/tex]证明：若 [tex=2.643x1.357]lY19m87d4iVSMgivVn0dsD7I7TKqkVK+EMglhu5HHP8=[/tex]，则[tex=0.786x1.0]XNP4Jpyr7QiS9iMSbxewJg==[/tex]不是整环.

答案：

证：反证法 假设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环，则[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]无零因子.因[tex=2.643x1.357]lY19m87d4iVSMgivVn0dsL8CPj+ICJ9lyjl7L/C7l7k=[/tex]，故[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有互异的元素[tex=4.929x1.286]24fVQLH1rIGoLdcOSPJam/9iN2ee7G659O4mkjqiFQQ=[/tex].由[tex=2.286x1.214]3bxQuzCauiwwiIeoLJ7ojg==[/tex] 得[p=align:center][tex=9.286x1.571]f/I2zYTcW5uvKz+HZZ3ypYwJ0iBc/UwAxxqev5+yi3g/A8eWzqFc2FpbCLFpwewX[/tex]因[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环，无零因子，[tex=2.357x1.286]NmWLUlTOILHDfw7uqfi4DQ==[/tex]，可知[p=align:center][tex=12.071x1.5]CTlr2xEa1QSiNeWqiKYfoAkkleRfzmYj/M2i9kPR7Y4/Xu9xRZ1CDimF5OK69bqU[/tex]但[tex=2.214x1.286]A5273KdBXfw0EGkYSv16xg==[/tex]，于是又得[tex=1.786x1.0]e6yz2KDSejyMapjVGIIQDA==[/tex]，矛盾. 即[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]不是整环.

举一反三

内容

0
设环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 对加法作成一个循环群，证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环。
1
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群.
2
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环. 证明: 对 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的任何非零多项式 [tex=4.429x1.357]xDE+DYVVlqrwETxnz6Xubg==[/tex] 有[p=align:center][tex=15.5x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y9aNKwSst378OWInw7DpxyGmQvFvzv47TsWEB5CANuf6zpgFv5dmqUYhh4odqlC50+QDGCeyPT0ix16HCQ6y8st/RB8mbB6Oa20he8QsA61[/tex]如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 不是整环, 这一结论还成立吗?
3
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex] 如果存在 [tex=2.5x1.214]MUBOqhgSidNbIiPGutca8TrElVNegsU2eDrOYBfzzXU=[/tex] 使 [tex=2.571x1.214]vISNIN/rFHRC9rdtmDdjoQ==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个幂零元(nilpotent element).(1) 试求 [tex=1.429x1.214]jBC5UhniB1q3BXBWtSyFOc2/wXu1a7+esOF5m9BzKww=[/tex] 的所有幂零元;(2) 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的交换环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个幕零元, 则 [tex=1.857x1.071]TckY1UXsKGQ9dh30ORCSzg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个可逆元;(3) 证明: 交换环的幂零元全体构成一个子环.
4
设 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到环 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的满同态. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环, 则 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 也是交换环.