在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，满足an-an-1+2an•an-1=0．
（I）证明：∵当n≥2时，满足an-an-1+2an•an-1=0．∴1an−1an−1=2，∴数列{1an}是等差数列，首项为1a1=1，公差d=2．∴1an＝1+2(n−1)=2n-1．（II）bn=an2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{bn}的前n项和为Tn=12[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．∴2Tn（2n+1）≤m（n2+3）化为2n≤m（n2+3），化为m≥2nn2+3．令f（n）=2nn2+3=2n+3n，函数g（x）=x+3x（x＞0），g′（x）=1−3x2=x2−3x2，令g′（x）＞0，解得x＞3，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜3，此时函数g（x）单调递减．∴当x=3时，函数g（x）取得最小值．∴当n=1，2时，f（n）单调递增；当n≥2时，f（n）单调递减．∴当n=2时，f（n）取得最大值，∴m≥47．
举一反三
- (本小题满分16分)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n≥1，n∈N*)．
- 已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N×．
- 已知M=(a1+a2+…an-1)(a2+a3+…an)，N=(a1+a2+…an)(a2+a3+…an-1)，则M＞N． (1)a1＞0． (2)a1an＞0． A: 条件(1)充分，但条件(2)不充分． B: 条件(2)充分，但条件(1)不充分． C: 条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分． D: 条件(1)充分，条件(2)也充分． E: 条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．
- 已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝1(n≥2)．则a5＝( )
- 【单选题】已知数列{a n }中,a 1 =1,当n≥2时,a n =2a n - 1 +1,依次计算a 2 ,a 3 ,a 4 后,猜想a n 的一个表达式是()(5.0分) A. n 2 ﹣1 B. (n﹣1) 2 +1 C. 2 n ﹣1 D. 2 n ﹣ 1 +1
内容
- 0
数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1-an-1=0，数列{bn}满足b1=2,anbn+1=2an+1bn.
- 1
已知M=（a1+a2+…an-1）（a2+a2+…an）；N=（a1+a2+…an）（a2+a2+…an-1） 则M＞N（） （1）a1＞0 （2）a1an＞0 A: 条件（1）充分，但条件（2）不充分 B: 条件（2）充分，但条件（1）不充分 C: 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 D: 条件（1）充分，但条件（2）也充分 E: 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来也不充分
- 2
数列{an}中,a1=1;数列{bn}中,b1=0.当n>=2时,an=1/3[2a(n-1)+b(n-1)],bn=1/3[a(n-1)+2b(n-1)]求an,bn
- 3
已知数列{ a n }， a 1 ＝1， a n － a n － 1 ＝1 ( n ≥2)．则 a 5 ＝( )
- 4
数列{1/n｝当n→∞时，极限为（) A: 0 B: 1 C: -1 D: 不存在