设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导,证明: 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]使得 [tex=11.429x2.5]G6iT5PwDUgfpVKfTn6zZJGq2U4kHdsBukmT86qP9BOAu2gg9pK88T0fMrQyFpPHflUhjXEa3oUR6Fxkuajchbg==[/tex].

2022-06-17

设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导,证明: 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]使得 [tex=11.429x2.5]G6iT5PwDUgfpVKfTn6zZJGq2U4kHdsBukmT86qP9BOAu2gg9pK88T0fMrQyFpPHflUhjXEa3oUR6Fxkuajchbg==[/tex].

答案：

证法一:令 [tex=6.071x1.357]SzQ+4JYqMoidHCR4kKotbg==[/tex] 则 [tex=8.5x1.429]jVXDDRfiL86FV4EY27S0Ke5rCZDUFfR3q+o34S9R3B3Ise9GtJNeXjRsx4BdYi+m[/tex]又 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]Kvu9oHxdKRYd5yjcpK/0wg==[/tex] 上连续,在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导 故至少存在一点 [tex=4.143x1.357]WCjQayUjZl9VPUU8VJwpn51eX6jD50Sk7gX9Vior/yA=[/tex] 使得 [tex=8.0x2.5]wjeQZj073trljO5ih+CJiYP6UlXpmUGnqX4OMyRXxJPLd3Y1YX8oTiGtvSu+bd5w[/tex]即 [tex=11.429x2.5]G6iT5PwDUgfpVKfTn6zZJGq2U4kHdsBukmT86qP9BOAu2gg9pK88T0fMrQyFpPHflUhjXEa3oUR6Fxkuajchbg==[/tex]证法二: 设常量 [tex=7.214x2.5]WOqEVrpuCOha2ZBQjNNPrPbsIYxekVkdeHCu9p1MXlc=[/tex]于是 [tex=19.429x1.357]9gf3avhu6+foOZPNdVsAZm9eqnDkcG0JKRakaLxEEVE3Hq1qCC2yb7E4S0QO77lXdJWRsvPe5ekpkVnEhml3Qg==[/tex]令 [tex=7.357x1.357]Y338wCvYyqq50EKUvY0WXPelMY6p6nJvmhnDpuPWRs4=[/tex] 则 [tex=4.857x1.357]gUsGvGuiIdH1fHmliIzPfA==[/tex] 又 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 显然在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续， 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导，由罗尔定理知，存在 [tex=4.143x1.357]WCjQayUjZl9VPUU8VJwpn51eX6jD50Sk7gX9Vior/yA=[/tex] 使 [tex=4.071x1.429]xCCpDEeSVerSHsWtB5kRLsz8UvcyVKoAeoEPR/qsSpo=[/tex], 即 [tex=7.857x1.429]gPSG9MmNGCF8Klft0Pu7NwTNh8sBa4oxDZcU2LhWGU1ETYDtsNvxFOrGVEx0Mhk3[/tex] 故 [tex=13.143x2.5]gPSG9MmNGCF8Klft0Pu7N/sQuaoOP0P/mmwNHrvKJtXID8TavI1eaUVYkxsZFMKPdWtqHr2Nr8FzPrs8gLMhxA==[/tex]

举一反三

内容

0
若函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内不可导,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内不连续.
1
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，证明至少存在一点[tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex], 使 [tex=12.643x1.571]N5BaYG75wYW4s1NQ/+v5IL4tc8C65mEXnZyMv0o43qtRNnBCKwCstBa2ua7kSSdZ/LlPnEBXmPpF3wsn3uckcw==[/tex]
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上可导,且[tex=6.714x1.357]mMYUeNAe38X+/GvdLKmvRw==[/tex], 则 [tex=9.714x1.429]YEB+XWrIlL0FhJofV4x7Y88kjtYWQ/8Nf3OrSdZ5LNjoHhtu70p6mabGVjlb+X7j[/tex]在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内有解
3
若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导,则导函数 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内必连续.
4
设[tex=4.929x1.357]TzxFj8R3HFQ+3b5HL7OA6Q==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，证明：存在[tex=3.143x1.357]htJfTm2Yr41vXjV0YrMmqA==[/tex]，使得[tex=11.429x2.5]EvIEbpwuqEVgp4ujH22QIk1sED9nao/SMsv8cPU1PxtF/kwUHomgVIcE8tv7YjskiMbydhcUjVtHwT1fQy24vg==[/tex]。