试证明下列问题：设 [tex=3.357x1.071]N9m+uQveFyIaAl7YOqTjMWIwUfrXldNNpXBcF/hzkPk=[/tex] 是一个非空点集. 若对任意的 [tex=2.0x1.071]qR3ROV80vpxf/81v1XScJw==[/tex],存在 [tex=1.929x1.214]+kdAMpsfuqZ/KexqkM9Mhg==[/tex],使得 [tex=6.929x1.357]9oTK4dxK+NymZXdzHIgZ6r/HMQMQPNLLxWAvEZGZGGs=[/tex] 则[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是闭集.
举一反三
- 试证明下列命题：设 [tex=3.357x1.071]N9m+uQveFyIaAl7YOqTjMf+0L1vbyIMb/wQ2HJ3j7+k=[/tex] 中每点都是 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的孤立点,试证明 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是某开集和闭集的交集.
- 证明下列命题：设 [tex=3.286x1.286]5gyO9FLqZe7sQzM/KLcuvtnnwdHD6p5S36QG8tPt54A=[/tex] . 若 [tex=1.071x1.286]VT6PajCUfezYfOMPQOoG0A==[/tex] 是可数集,则[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是可数集.
- 解答下列问题：设 [tex=8.786x1.571]PUnRkrNi5MN9Uyjd4tawIzFMjTaZF4o+tuSg/zNJgl2ZTK4w2kF+3fN3gFihRnVTy1G4jtOPc3Q1QSyFuXVwAQ==[/tex], 且有[tex=11.643x2.643]e+yUMNjQeuJYe6l0ZbTv1D84RABSjHsfVQFOQH17OM+KGeccnNqTUdTuxDWlOjDWJEEhlsnX553tdMr6BBw06w==[/tex],试证明对任意的[tex=3.357x1.357]FtsOj228NN6BWu+x1gPOGg==[/tex], 存在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex]中可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex],使得[tex=11.0x2.643]FCmCpn9RRzk9u6QnB8p5OHH9hM0vrk+3UNcWgHHSl+53YJ1lhr68VX60SOs0ieaz[/tex].
- 点集[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为闭集当且仅当[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中的收敛点列的极限仍然属于[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]
- 设 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 中可测集,若 [tex=3.714x1.357]TiA+F1K0JpZViol/PQ2VPQ==[/tex], 证明对任意可测集 [tex=12.0x1.357]xt5BtlToPhMVxaAkOIiRiYNWFLmhzOYRvqvJ/03XRcRPNrBo5JxoQIF4x8BT7Tly[/tex].