证明: 设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为幂级数[tex=3.714x2.714]LCs/jzl+nr3KBTJXBn4IiQpydlYfsEZoVTjV2bjTq4B+DUIJ96qA3Mcxujf+C7Gs[/tex] 在[tex=3.429x1.286]iWY1z6m9Yniyt1bzvtQjcw==[/tex] 上的和函数,若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为奇函数,则该级数仅出现奇次幂的项,若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 为偶函数, 则该级数仅出现偶次幂的项.
举一反三
- 设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 为连续函数, 求证:(1) 若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 为奇函数, 则 [tex=4.214x2.286]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0gsJ0wPKCSLHiIsl69Vu800=[/tex] 是偶函数 ;(2) 若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 为偶函数, 则 [tex=4.214x2.286]0fRlWbNJGvj5VdT3U3Vk0gsJ0wPKCSLHiIsl69Vu800=[/tex] 是奇函数;(3) 奇函数的所有原函数均为偶函数; 偶函数的原函数中只有一个奇函数.
- 设函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 有相同的定义域，证明:1)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是偶函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是偶函数;2)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是奇函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是偶函数;3)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] ， 一个是偶函数另一个是奇函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是奇函数。
- 证明:若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 0 的邻域是偶函数(奇函数)，且[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 0 存在各阶导数，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的马克劳林公式只含有[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的偶数次幂（奇数次幂）的项。
- 证明：设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为幂级数(2)在 [tex=3.571x1.357]J/gPZBpwGHv4oUGrZadE5w==[/tex] 上的和函数，若 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为奇函数，则级 数(2)仅出现奇次幂的项，若 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为偶函数，则(2)仅出现偶次幂的项。
- 证明:若函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是奇函数或偶函数，且 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.786x1.286]Fg5IUitkct+ESji8OI4WmA==[/tex] 连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=3.5x1.286]RlY7z3udff+GPCeq4Wqz1g==[/tex]也连续。