设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级对称矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上主对角元全为1的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级上三角矩阵，那么[tex=2.571x1.143]0fnjW85PDzMA1plt4TcKcg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]阶顺序主子式相等，[tex=5.857x1.214]I5SGjTr5mzU5Ceq/sb8fsMww7wbMal8t8RY5w2pUkfk=[/tex]。
举一反三
- 证明：如果数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为0，那么存在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上主对角元全为1的上三角矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与主对角元全不为0的对角矩阵[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]，使得[tex=4.214x1.143]gdq/daeB4gLJDSyW2xB5BRk/ecdE1RWzda9qZg0tjoU=[/tex]；并且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的这种分解式是唯一的。
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级对称矩阵，[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为0.证明：对角矩阵[tex=9.929x1.357]tvK2j45brKxHSVLfyOxaeEHnXFMgGbrqlgg92UE0vTbZv5pJRFOea6KOneUP6msxO0MyVmvIual9OpbXK5wywQ==[/tex]的主对角元为[tex=15.429x2.714]uOjlTIFliyZ78k/I2vvkUy78bCFR/JUcSUanbiUdovwVqigF3fjjqZavCP773vBQc0g6h+dX1HjiJMU/r5naVLRzjjnWUskdx5ZKoPxzEiIfiHV9Ws5hEV+Pk9fRgu9HjW3bnO8CL4QT5MCWBzNfuw==[/tex]（7）其中[tex=1.714x1.357]IpBjL4TKV3sVAqE/KwsqrAfJip3ywT+685wbf5y96q8=[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]阶顺序主子式，[tex=5.857x1.214]I5SGjTr5mzU5Ceq/sb8fsMww7wbMal8t8RY5w2pUkfk=[/tex]。
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，行标和列标都为1,2，...，[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]的子式称为[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]阶顺序主子式，[tex=5.857x1.214]I5SGjTr5mzU5Ceq/sb8fsMww7wbMal8t8RY5w2pUkfk=[/tex].证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有顺序主子式都不等于0，那么存在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级下三角矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使得[tex=1.571x1.0]CXAfKGuWUtI+Dzsv5Km60Q==[/tex]为上三角矩阵.
- 证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是上三角矩阵，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对角矩阵，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的主对角元为1或-1.
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级可逆矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]有特征值，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值不等于0.