设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，行标和列标都为1,2，...，[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]的子式称为[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]阶顺序主子式，[tex=5.857x1.214]I5SGjTr5mzU5Ceq/sb8fsMww7wbMal8t8RY5w2pUkfk=[/tex].证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有顺序主子式都不等于0，那么存在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级下三角矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使得[tex=1.571x1.0]CXAfKGuWUtI+Dzsv5Km60Q==[/tex]为上三角矩阵.

2022-06-18

设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，行标和列标都为1,2，...，[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]的子式称为[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]阶顺序主子式，[tex=5.857x1.214]I5SGjTr5mzU5Ceq/sb8fsMww7wbMal8t8RY5w2pUkfk=[/tex].证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有顺序主子式都不等于0，那么存在[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级下三角矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使得[tex=1.571x1.0]CXAfKGuWUtI+Dzsv5Km60Q==[/tex]为上三角矩阵.

答案：

证明：[tex=2.5x1.0]4/1kK4m052TgsZ3rTR3dow==[/tex]时，命题显然为真.假设对于[tex=1.929x1.143]odTH0p5clPZMk1jQf4ctjw==[/tex]级矩阵，命题为真.下面看[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵[tex=3.571x1.357]aVLZXZOyFvu0YW8S/Fna3xaGJnoK5u4oKwxFaralEcU=[/tex]的情形.设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有顺序主子式都不等于0.把[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]写成分块矩阵的形式：[tex=7.643x2.786]sSXBpxJWudVpH1R35o4LnDv+QjljhDEeMkSIJKZeC0bHyclS3JY9WGc+AG7zs02FFamfb0vcbgucEorjqnZnMTJTlChWyUvL6QXFLm3UnXfOiFHSrVNVa+fw5C/4U8i/EcMBVutaZUebXpHLR8b2CQ==[/tex]，其中[tex=1.143x1.214]AQwMhnZezaFSa5n7pa0fZg==[/tex]是[tex=1.929x1.143]odTH0p5clPZMk1jQf4ctjw==[/tex]级矩阵.由于[tex=1.143x1.214]AQwMhnZezaFSa5n7pa0fZg==[/tex]的所有顺序主子式是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=5.357x1.214]Rq+8uAEGofBk8daD56iRhj9gHCsJHJi2vy99DlEx9hY=[/tex]阶顺序主子式，因此对[tex=1.143x1.214]AQwMhnZezaFSa5n7pa0fZg==[/tex]可以用归纳假设，有[tex=1.929x1.143]odTH0p5clPZMk1jQf4ctjw==[/tex]级下三角矩阵[tex=1.143x1.214]MkGRmzwZwNoAa1gqW8mUXA==[/tex]，使得[tex=2.214x1.214]Irh3IaXio0w+4F11VQIMow==[/tex]为上三角矩阵.[tex=6.0x2.786]075gCzZzsMRb6HYXYk9X99AVTpJPtfeZmZgLkNm8wZYcU1bdYXlzYZVOqmQ0UqcsXDcOmxUD2GQ/A0WvC3pKw23L4EoWd2dMnQt9FdBJ8TM4EKD+Tj5OJtoyneL0GRitU1mvH+ZJVOmzM+dAKxyKPg==[/tex][tex=8.0x3.429]ONJ45AHGj9/1+cYp0YYl+gXN1UrHWsiiK+4yapl9QLRRFiZboqm41oVWOG6OtGAgZKX3WijuKQuXQjrYwLHJa2ZbtfmBZf/87ZQ3JsQc6lW/kkALkjx3zC+5pBCTUNgtAbpG5n6X7F74OawKQ3o1+w==[/tex][tex=9.786x3.357]075gCzZzsMRb6HYXYk9X99AVTpJPtfeZmZgLkNm8wZZngye+rr68/B8fSjSrNjynuJfHWZ2x5g1psnXubYjXWH/zL2/EE66Dx2ACNrg6Ug41MlDHHoZuZalCKtEDl1GcF7ltjQZX/vcsPCokUYvRmw==[/tex].于是[tex=23.714x3.357]075gCzZzsMRb6HYXYk9X97RWpYTbdlHSknDWUfsGgTgLPvppQaORrubHuAQCpaZYtPBMnF+/AH5k6qgmS/d+Nf6cMhQs56YAX85VCyU1yx31CqWFH1Mp2rDsT1gcLJeARvRDGRXabff31ieKf/ynq75tDlIQlJTtZqczH9tChZrt/ag8oVoae9MDw7AmR+rWaZC5d7aTF2IRII5XKF3oN2GhXoe0NQiYaVBTvHuAiwyYH/rX/WgAI/HvyWMJmT6cjU06zgUMhkH5Sw4aV8F/u/UFwYdM78roMjn7nHbGyTMp4ShE7URJMDpsZk4YFoFjBMirX+5RAeZpO/DpFoyZbccgFVTfekFr5K4fafQTt7jz3ZWA0GovrNFiRsNe6sHIiq5xumX1/DC6Sitz9Y73ggzFetlsZ8QPVK8tz9kcdjWWTRUt5pQK2qDeMhZHJOxrJHU7o5S2Wh9Ah73i1k9wAg==[/tex]，令[tex=22.429x3.357]tAg4kjefm91yBdigy4ffjBlKgvN9Sn1UnuIiBBoRJ5gjI1KgfH2mDGrtuqs0WpzlJtPCWLlmDNOWFuE5mgPHolw4Q/Hj5y3cUEb8bdPI6fextuZXd8ROAKkDw78gYqHMumi8jaHZn/3+4cVhFAgCNSKF6/7mct/YsJJnZiDi8TSBy0ANm1VJQgUKkb6gzQ0GoiB1dFZ5pb9RY8WlHqOf/Jl/9qaWKs/yIFoMrt6md5UiznS+BdO1Bw3SENh2+hel+xx7KKRR14B4k4QPan8Z6siozHggVWq+iH6/7pFrRo6UeHJk7edjRxnOsVrG0fA4[/tex]，则[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]为下三角矩阵，且[tex=13.5x3.357]mOOlIN+8hxgZdTSGg7Ws72MJzZGnPZ2gQ/G0iq/n3tfA/+q5BcuXfEEl51c+TawiodEsA5qeQzg1fdE2bwyxkXNgLlcbS3IKya0yzXaBUv1S0RCo1WxdfkQz+SRrJik/o1e6lVKZ3O+fAUJ0YjaNvxOe9KrbL2HmQ9x2jMrSvq1EGiKgcJV0YMkGdGwDOejJOZoiK3wA/tYHPdfzv9M3v4jH0VmbfGkZDwB3MBQrp9o=[/tex]，于是[tex=1.571x1.0]CXAfKGuWUtI+Dzsv5Km60Q==[/tex]为上三角矩阵.由数学归纳法原理，对一切正整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]，命题为真.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为0，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的正惯性指数等于数列[tex=12.357x1.357]gulJtGaWzyRtEINdlJ0wi+WXopgWSoh7wjuTDsXH2r83vO6ASe+AQtoLrIwBI/mkqOvY3TGUPCW5K7jg3I6I1jkcaa9F1jkJUJmgkd6TbXo=[/tex]（8）中的保号数，而[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的负惯性指数等于这个数列的变号数，其中[tex=1.714x1.357]IpBjL4TKV3sVAqE/KwsqrAfJip3ywT+685wbf5y96q8=[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]阶顺序主子式，[tex=6.643x1.214]I5SGjTr5mzU5Ceq/sb8fsNLuj5CAzzIxmfpiwbnAnuc=[/tex]。
1
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵，证明：如果[tex=2.643x1.357]xnNlsIp2wAAq+OkAnU/oIQ==[/tex]，且[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是奇数，那么1是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的一个特征值。
2
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵，证明：如果[tex=3.429x1.357]KfxiXgR+wZCad+SOlQefBQ==[/tex]，那么-1是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]得一个特征值。
3
证明：对任意[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]和[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，都有[tex=5.571x1.214]pJfFj2aCqUYDnZbV5Jb2/w==[/tex].
4
证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级半正定矩阵，那么[tex=2.286x1.143]7OI9Dpqsob5Abz33m0rKpw==[/tex]是正定矩阵。