证明:性质 2 的逆命题为真, 即设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中一个次数大于零的多项式, 如果对于任意 [tex=2.143x1.357]21H6812iIz5aHLZtAeFhPA==[/tex] [tex=4.786x1.357]YImwQSIyZfz+bnW4vwzTGA==[/tex] 从 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者 [tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex], 那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.
举一反三
- 6. 证明: 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式 [tex=4.429x1.357]xDE+DYVVlqrwETxnz6Xubg==[/tex] 由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex]或者[tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex]那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是不可约多项式。
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是次数大于零的多项式. 证明: 如果对于任何多项式 [tex=4.286x1.357]Txg9FRufl5MTdl37OkIC0Q==[/tex]由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者[tex=4.571x1.357]BO8Qu1csAGeU8R6I1RCy3Q==[/tex],则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.
- 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中一个次数大于零的多项式。如果对于任意 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，[tex=4.286x1.357]jLYV9HW9NT4nQKbR9D09eg==[/tex]，只要[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXwLWbeRaQOHanvZaiQpB2D4=[/tex]，就有[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex]或 [tex=4.571x1.357]BwAlbRF2LBhYPmFhNaI6JQ==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]不可约。
- 设 [tex=9.857x1.357]0T+1c7zq/idbMqaaWgotqWHr6fZNYBkXTLjhyQglJzp0iOIdZEz3WbEw/Pb+3qlO[/tex] 又 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 满足 [p=align:center][tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]，则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或 [tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex].试证 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 不可约.
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上的多项式且次数大于 0, 则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上不可约的充要条件是: 对 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上任意适合 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 或者 [tex=4.286x1.357]Bjm/GfOl5UoUE3/6/N5Bew62HKPUKuqC0HS8DG8f9D4=[/tex]