证明:性质 2 的逆命题为真, 即设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中一个次数大于零的多项式, 如果对于任意 [tex=2.143x1.357]21H6812iIz5aHLZtAeFhPA==[/tex] [tex=4.786x1.357]YImwQSIyZfz+bnW4vwzTGA==[/tex] 从 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者 [tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex], 那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.

2022-06-19

证明:性质 2 的逆命题为真, 即设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中一个次数大于零的多项式, 如果对于任意 [tex=2.143x1.357]21H6812iIz5aHLZtAeFhPA==[/tex] [tex=4.786x1.357]YImwQSIyZfz+bnW4vwzTGA==[/tex] 从 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者 [tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex], 那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.

答案：

解：用反证法, 且利用本节性质3. 

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的不可约多项式, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的多项式. 证明:若 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的某个复根 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 也是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根, 则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 特别地, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的任一复根都是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
1
设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的一个不可约多项式, 证明: 如果 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中的多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]8Lsjk1KmFRMT9QjVrfWcIg==[/tex] 有一个公共复根, 则在 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中[tex=4.857x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qEUOVSfC0ERVz6ThZZc0op0=[/tex]
2
证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
3
证明定理 5 的逆,即 : 设 [tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是次数大于零的多项式,如果对于任何多项式[tex=4.429x1.357]nk7bBPPOkQA2jD1gOYYpyw==[/tex]\由[tex=6.357x1.357]7oQUDUsfDA0XMBbIN/2LNbLVLVyrEv2RPJQjVwhQVD0=[/tex] 可以推出[tex=4.571x1.357]uCgBq8XLCEzWYqB+sTVtnw==[/tex]或者 [tex=4.643x1.357]UdRdMMueAtFLpyvyfSC4WWLqY1g1qwDWTY59fG7mHTs=[/tex],那么 [tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是不可约多项式.
4
证明: [tex=2.0x1.357]bhIid+utCyrxmES94DkZ5Q==[/tex] 中, 若不可约多项式 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的导数 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 的 [tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex] 重因式 [tex=3.429x1.357]UNYqr1Y7cmjujB4PZlbJKHH5TxaP7qL4XpbbOt7vx+s=[/tex] 并且 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的因式, 则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重因式.