设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上的多项式且次数大于 0, 则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上不可约的充要条件是: 对 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上任意适合 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 或者 [tex=4.286x1.357]Bjm/GfOl5UoUE3/6/N5Bew62HKPUKuqC0HS8DG8f9D4=[/tex]
举一反三
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的不可约多项式, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的多项式. 证明:若 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的某个复根 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 也是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根, 则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 特别地, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的任一复根都是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是次数大于零的多项式. 证明: 如果对于任何多项式 [tex=4.286x1.357]Txg9FRufl5MTdl37OkIC0Q==[/tex]由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者[tex=4.571x1.357]BO8Qu1csAGeU8R6I1RCy3Q==[/tex],则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.
- 6. 证明: 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式 [tex=4.429x1.357]xDE+DYVVlqrwETxnz6Xubg==[/tex] 由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex]或者[tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex]那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是不可约多项式。
- 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中一个次数大于零的多项式。如果对于任意 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，[tex=4.286x1.357]jLYV9HW9NT4nQKbR9D09eg==[/tex]，只要[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXwLWbeRaQOHanvZaiQpB2D4=[/tex]，就有[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex]或 [tex=4.571x1.357]BwAlbRF2LBhYPmFhNaI6JQ==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]不可约。
- 设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个域，不可约多项式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的一个[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]UNYqr1Y7cmjujB4PZlbJKGjljFXv8xgmLBe4lI/viUA=[/tex]，证明：如果 char [tex=1.929x1.0]cdQ98Ok0dLr6ntvDKBzvOQ==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的[tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex]重因式，特别地，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的单因式不是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的因式。