举一反三
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是次数大于零的多项式. 证明: 如果对于任何多项式 [tex=4.286x1.357]Txg9FRufl5MTdl37OkIC0Q==[/tex]由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者[tex=4.571x1.357]BO8Qu1csAGeU8R6I1RCy3Q==[/tex],则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.
- 6. 证明: 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是次数大于零的多项式,如果对于任何多项式 [tex=4.429x1.357]xDE+DYVVlqrwETxnz6Xubg==[/tex] 由[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex]可以推出[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex]或者[tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex]那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是不可约多项式。
- 证明:性质 2 的逆命题为真, 即设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中一个次数大于零的多项式, 如果对于任意 [tex=2.143x1.357]21H6812iIz5aHLZtAeFhPA==[/tex] [tex=4.786x1.357]YImwQSIyZfz+bnW4vwzTGA==[/tex] 从 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 可以推出 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或者 [tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex], 那么 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是不可约多项式.
- 设 [tex=9.857x1.357]0T+1c7zq/idbMqaaWgotqWHr6fZNYBkXTLjhyQglJzp0iOIdZEz3WbEw/Pb+3qlO[/tex] 又 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 满足 [p=align:center][tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex],则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex] 或 [tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex].试证 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 不可约.
- 设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上的多项式且次数大于 0, 则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上不可约的充要条件是: 对 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上任意适合 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 或者 [tex=4.286x1.357]Bjm/GfOl5UoUE3/6/N5Bew62HKPUKuqC0HS8DG8f9D4=[/tex]
内容
- 0
设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的不可约多项式, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的多项式. 证明:若 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的某个复根 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 也是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根, 则 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 特别地, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 的任一复根都是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
- 1
证明:设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
- 2
设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的导数[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的[tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex]重因式,证明:[tex=1.714x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]重因式的充分且必要条件是[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex].
- 3
证明: [tex=2.0x1.357]bhIid+utCyrxmES94DkZ5Q==[/tex] 中, 若不可约多项式 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的导数 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 的 [tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex] 重因式 [tex=3.429x1.357]UNYqr1Y7cmjujB4PZlbJKHH5TxaP7qL4XpbbOt7vx+s=[/tex] 并且 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的因式, 则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重因式.
- 4
令[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是一个复数,并且是[tex=1.929x1.357]wgb9HHv6MasyQfi5ab09FA==[/tex]中一个非零多项式的根.令[tex=10.571x1.357]1da1HneIrbcfGBMEXUjlzwZuqegqk2adgPFETV3TppQou+06Gy7iHJ88MOUK7949[/tex]证明:[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]在[tex=1.929x1.357]wgb9HHv6MasyQfi5ab09FA==[/tex]中不可约. 如果[tex=4.786x1.429]rl8CRHsf7vOoUjexwJMJwf9Wq28PgTTQPMxlqufkBZc=[/tex],求上述的[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]