令[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]wgb9HHv6MasyQfi5ab09FA==[/tex]中一个非零多项式的根.令[tex=10.571x1.357]1da1HneIrbcfGBMEXUjlzwZuqegqk2adgPFETV3TppQou+06Gy7iHJ88MOUK7949[/tex]证明：[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]在[tex=1.929x1.357]wgb9HHv6MasyQfi5ab09FA==[/tex]中不可约. 如果[tex=4.786x1.429]rl8CRHsf7vOoUjexwJMJwf9Wq28PgTTQPMxlqufkBZc=[/tex]，求上述的[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]
举一反三
- 令[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]7thWjW6P+ez5FABhuPplFQ==[/tex]中一个非零多项式的根.令 [tex=10.571x1.357]dfaMLEnrsK/r/jBOWWyK8IPNNCJ4SjDEAsV9M4QeBRH5729OMXlz0IvW8JCKNg4N[/tex].证明 :[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]在[tex=1.929x1.357]7thWjW6P+ez5FABhuPplFQ==[/tex]中不可约。
- 令[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]wgb9HHv6MasyQfi5ab09FA==[/tex]中一个非零多项式的根.令[tex=10.571x1.357]1da1HneIrbcfGBMEXUjlzwZuqegqk2adgPFETV3TppQou+06Gy7iHJ88MOUK7949[/tex]证明：在[tex=0.571x1.0]qmbwF4Pp2sLBvOFTeKQ/mA==[/tex]中存在唯一的最高次项系数是1的多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]，使得[tex=0.571x1.0]qmbwF4Pp2sLBvOFTeKQ/mA==[/tex]中每一多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]都可以写成[tex=3.714x1.357]dQTS1Q95POqkqYlmyVi5qw==[/tex]的形式，这里[tex=4.429x1.357]u45nlbNHvvjTvkzJOG/BEdCrl3NqV6kzGAziAmlXqUs=[/tex]
- 令[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]7thWjW6P+ez5FABhuPplFQ==[/tex]中一个非零多项式的根.令 [tex=10.571x1.357]dfaMLEnrsK/r/jBOWWyK8IPNNCJ4SjDEAsV9M4QeBRH5729OMXlz0IvW8JCKNg4N[/tex].证明 :在[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]中存在唯一的最高次项系数为[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]，使得 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]中每一多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]都可以写成[tex=3.929x1.357]0/etnSUT6LB053zz4pvNAH+JMSQ3nf3nw2AjS7nNRic=[/tex]的形式，这里[tex=4.429x1.357]1BE0fIYjYXhsL6588ILVDagEkHDl2hQhQQaLAIKpkNM=[/tex].
- 证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
- 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中一个次数大于零的多项式。如果对于任意 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，[tex=4.286x1.357]jLYV9HW9NT4nQKbR9D09eg==[/tex]，只要[tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXwLWbeRaQOHanvZaiQpB2D4=[/tex]，就有[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex]或 [tex=4.571x1.357]BwAlbRF2LBhYPmFhNaI6JQ==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]不可约。