设[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]是一个惟一分解整环，又[tex=6.643x1.357]DK7pDZT68NyzH+9bx+gD2J/BlXrHm5S4I+bZrWu4Wa4=[/tex]. 证明: 若乘积[tex=3.714x1.357]OzzRCXKpB+NCOpQoLgyZtQ==[/tex]是本原多项式,则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]都是本原多项式.

2022-06-19

设[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]是一个惟一分解整环，又[tex=6.643x1.357]DK7pDZT68NyzH+9bx+gD2J/BlXrHm5S4I+bZrWu4Wa4=[/tex]. 证明: 若乘积[tex=3.714x1.357]OzzRCXKpB+NCOpQoLgyZtQ==[/tex]是本原多项式,则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]都是本原多项式.

答案：

证   设[tex=10.857x1.357]BAwshAntLYp3HKkCqMAoCwRUM/SW7Kctb1FLiczCs5q2Ez5U8Wj3s6J8UDpFBHDM[/tex], 其中[tex=2.786x1.214]ayLeL2QsNsufqWNtActb0w==[/tex], 而[tex=4.357x1.357]1uJ0HqRRY6QgWoscqecL+Q==[/tex]是本原多项式,由[tex=2.857x1.0]nFfMk1gAq4fR5TwPu+p8Og==[/tex]引理,乘积[tex=4.429x1.357]epywa0MQQr5X8perZATcfU1HQGudbgtO/SCfs+1v6Yk=[/tex]是本原多项式. 由题设,[tex=9.786x1.357]XIBt70teeOrGIkHuh7wBXs3eBoYeTZxFF7yOSZ1mieY=[/tex]是本原多项式,所以可知[tex=1.0x1.0]8hHu1gwlYdL8waIghxqJxQ==[/tex] 是单位,即[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]与[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]都是单位. 因此,[tex=5.357x1.357]PubXP+19qiumNKTTrTE3NQ==[/tex] 与 [tex=5.214x1.357]zcmc2ktBCBsNtCput3oRoQ==[/tex]都是本原多项式.

举一反三

内容

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证明：如果 [tex=8.429x1.357]fB6ODgdjWzUaSsGmIhF/433d1tjfOTdAwCjXeYReYlI=[/tex]，且 [tex=1.929x1.357]0ZHgxEhdYTvlvk9Zu0U2zw==[/tex]为[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的组合，那么[tex=1.929x1.357]0ZHgxEhdYTvlvk9Zu0U2zw==[/tex]是 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的一个最大公因式。
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假定[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]、[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]和[tex=1.929x1.357]PF3ys5sCH7xL9V4l3n5Ang==[/tex]为函数，使得[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.429x1.357]pweQz6vYdJSfN1APBJuJ8Q==[/tex]的，[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是[tex=3.5x1.357]i1h+gXObWOZdoFBEPZ7BbQ==[/tex]的。证明[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.5x1.357]i1h+gXObWOZdoFBEPZ7BbQ==[/tex]的。
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证明如果函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]和[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]使得[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.143x1.357]ZuRtT8Wk+WJPrIgEMh/UFQ==[/tex]的，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=3.429x1.357]pweQz6vYdJSfN1APBJuJ8Q==[/tex]的。
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证明:如果[tex=8.714x1.357]fB6ODgdjWzUaSsGmIhF/4zSXsOK4xZpeByKUt/o3kGo=[/tex] 且[tex=1.929x1.357]0ZHgxEhdYTvlvk9Zu0U2zw==[/tex] 为 [tex=1.929x1.357]bUXKQwwuvXV5Fd2lUK1NXQ==[/tex]与 [tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的一个组合，那么 [tex=1.929x1.357]9lLk3YgK5fQwPBuVi9duiA==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 与[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]的一个最大公因式
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设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是特征为 0 的域, [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中正次数首 1 多项式, [tex=8.071x1.429]vFFvVPk/i2XV6w2VPKZQh9i1pSauwZXtLf9P2wlxnyL29DvspcoFvesFz7r+ZLaC[/tex], 其中[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的导数. 求证: [tex=6.857x1.357]hCN+dCAlIOnVqUEyVn04UECiDvBNy60wfGeoT81WTs8=[/tex]和[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]有同样的根, 并且[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]无重根.