设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆矩阵, 求试: [tex=4.5x1.5]PF0fDnXPlM7K2dC5InTdr4/LOIKq2wPKY8LBe4mdOak=[/tex], 其中 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是一个 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 次多项式.

2022-06-19

设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆矩阵, 求试: [tex=4.5x1.5]PF0fDnXPlM7K2dC5InTdr4/LOIKq2wPKY8LBe4mdOak=[/tex], 其中 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是一个 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 次多项式.

答案：

证明 设 [tex=14.571x1.5]3Qc8zAEodU/NXu/GRWXrWjA+U7BzHxYC9q1rJiEDxXAtMY/8hbCNs0nDXw4B8DhUQu3v4XspI3XIwTZ4hNLMOw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式, 则 由 Cayley-Hamilton 定理可得 [tex=3.571x1.357]q42bPLpO63AGznQphVM9jg==[/tex]. 因为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 故 [tex=3.143x1.357]c86tDFRnFfAli7psTNwdAw==[/tex], 即 [tex=3.071x1.214]HpvdXRZjVAG/fs1BEMDOFzI2Q9xDdbWu7QH5QSZHxyc=[/tex]由 [tex=3.571x1.357]q42bPLpO63AGznQphVM9jg==[/tex] 可得[tex=19.143x2.786]B7s2CbnH6fCW9r16E3nskfR7D+cpo8k14IZUXFdSOskawAIZJ/r4VuWIneJmDKKRacMUGfDGCruNgmB1P3AeqQppu0vN3Z6TTdpXdXOhORrIgNKsdU0p9+1Kk/xtNMeq2Z2fqB0A14OCEH5gdRe1jg==[/tex]因此[tex=17.857x2.5]CE7vI8h3JaNrmRkyLQtBaiwRjjZ/nAEiE+H6L/raa+ULl4nycAgOX20elLas/bOUFpeOxCaw0bRHeySmx/6EuxACNFauNAZsRlG9oS2oIwtHNL2odjFati8LfqHaaJLs[/tex]

举一反三

内容

0
设 [tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的一个特征值.（1）求 [tex=6.786x1.429]GEUVl9vJyMoBP0kYsKqMRtZf6gqbSM5309Sk1nGUexQ=[/tex] 的一个特征值；（2）若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆，求 [tex=8.786x1.429]7Lqpjv7nrdJ0r67Eup8jNGZNIM2UNZuj8DSfvgqlnAE/mhbyNwTbfPyQt74/IE1P[/tex] 的一个特征值.
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，且[tex=7.5x1.5]c5Cf4pRARaBipYntugL/3mXW9bN1kcCFWtRtdE4s5U7oqYZPlZzeU9EQzsAlBDm6q64C32SDmVrNm3PyP4pHRa8qCmYFCiKr9TZD9wQq4LU=[/tex], 试证: -1 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的一个特征值.
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆阵，试证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的伴隨矩阵 [tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex] 也可逆，并求 [tex=3.357x1.571]hsYux8/o9R1M3QARVAWWJ4yX8B8cO9W1YNJbVv7uZaY=[/tex]
3
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是复数域上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵，证明，[tex=1.714x1.214]w5EFtBL4q9r6pzVY0285fA==[/tex]可以表示成[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的一个复系数多项式。
4
若矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 即 [tex=2.786x1.0]t6ogScZVzQ6nmR7J34fx7Q==[/tex] 但 [tex=4.5x1.429]LeMsK/GHf6ch8ZOCybGouXwgjeQprbWyKA1XUXYVQGI=[/tex] 如果 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是同阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex].