设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是一个多项式，用[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]表示把[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式。证明：(i) 若[tex=4.5x1.357]U6R4KZ/ZA1xG3kNTBBaoT+FoCalf1qdbw+cLi+CQZSk=[/tex]，那么[tex=4.5x1.429]Y3ca/1c2Po5h46S8jpBzgIOUoIoXz6YHR/CCReJzAs0=[/tex]；(ii) 若[tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]的一个最大公因式，并且[tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex]的最高次项系数是[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]，那么[tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex]是一个实系数多项式。

2022-06-19

设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是一个多项式，用[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]表示把[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式。证明：(i) 若[tex=4.5x1.357]U6R4KZ/ZA1xG3kNTBBaoT+FoCalf1qdbw+cLi+CQZSk=[/tex]，那么[tex=4.5x1.429]Y3ca/1c2Po5h46S8jpBzgIOUoIoXz6YHR/CCReJzAs0=[/tex]；(ii) 若[tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.429]idKr11bHOSzta0UYvTFwdw==[/tex]的一个最大公因式，并且[tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex]的最高次项系数是[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]，那么[tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex]是一个实系数多项式。

答案：

证(i) 由[tex=20.143x1.429]6WDVsTl/SWxxHv08BCZdy+beYLpWhlCSwaz4wuKpcGQ5E+aWZkMoRks7R7IJQ+ukcx36W3+FUHA17Ccv7eV0IAXApHUNkoQJoHjaN0rtWtPGYRlrUtY1PARBJ/L8MOU6[/tex]，所以 [tex=4.5x1.429]Y3ca/1c2Po5h46S8jpBzgJ+OKLHp8iZ7Ox6tyhTDjSc=[/tex].(ii) 若[tex=7.429x1.429]0rsiileF0vUnpcm/qqGmbCpHS6/6R6mvSE4YALvGG/I=[/tex]，则有[tex=1.929x1.357]zU5pXjUSaFFZrkwEim62Ag==[/tex]，[tex=1.857x1.357]HPAY/8lZdPTeVaC829Iu0A==[/tex]，使[tex=10.143x1.429]rrH8c0W5NuXtrDn8pavh2N5KjtlcWSz3tsmVKpvdMts=[/tex]，所以[tex=11.071x1.429]c6jlqu/r1pR3BsZHsBQeLraIusC1F0IusvqLx9cSQLk/uzl9+4KYhBAtd/fXWohdM8CIFjWJIrKeZFwQdkDUqA==[/tex].又由[tex=4.0x1.357]m9jtBHsU1oKw8SoPauGfBQ==[/tex]，[tex=4.0x1.429]GvchQ2SsywOqhlbMYAyWkL9yCcoj9Xa3wNGa/AGGiM8=[/tex]，可得[tex=4.143x1.429]4go0NkY0Lfu7WjRSXOtjo4WX12z8dyLQST+9Qy9eDDE=[/tex]，[tex=4.143x1.429]x3/ILIHlH5pS7mDVOC9AJw==[/tex]，所以[tex=7.571x1.429]7yatkZsx1UdmJMGNo5ceoUNsdDSrOervj5w7A50l+Xw=[/tex]. 从而[tex=4.714x1.429]G17xu9QYKMxEeTj/fQ/mTCgwss4/C95b9D6D8KZUCH4=[/tex]，故[tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex]是实系数多项式.

举一反三

内容

0
求多项式[tex=1.929x1.357]qtItT2nSs9gJhyd/XUewoA==[/tex]与[tex=1.857x1.357]HPAY/8lZdPTeVaC829Iu0A==[/tex]，使得[tex=10.857x1.357]goysNU0bxWSUXJzgE3jjR8RUz5lHAT4A9BUBlPX15Jc=[/tex]，[tex=1.929x1.357]cY572O/iQb24RFJ/GJrTow==[/tex]是多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]与[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]的最大公因式，[tex=11.571x1.5]/aSXGCwVlv2Cp56C/P2kFPuSRYF1mEWI14XublbdAB6qhIm+sV6/n5yiV1D+01hf[/tex]，[tex=6.214x1.5]HmSEFmtll3Kr2APMHt7E/g==[/tex]。
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换. 证明: 如果 [tex=7.714x1.357]Hy12kln5BWS6e/nYifqIO/MSAAIvZDzHo2Dmkm4Xohh+VhyIGmOJYdo4O4dthkqDWTDR08DSVglZkbGWYr+Lgg==[/tex] 则 [tex=3.857x1.357]fkYeizFVWvHVWBazq51W8CdeU38AOw9+uWsvQC06yI0=[/tex] 这里 [tex=1.929x1.357]aMCa7j968L/hYU5HJBvp5g==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的一个最大公因式.
2
证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
3
令[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]7thWjW6P+ez5FABhuPplFQ==[/tex]中一个非零多项式的根.令 [tex=10.571x1.357]dfaMLEnrsK/r/jBOWWyK8IPNNCJ4SjDEAsV9M4QeBRH5729OMXlz0IvW8JCKNg4N[/tex].证明 :在[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]中存在唯一的最高次项系数为[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]，使得 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]中每一多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]都可以写成[tex=3.929x1.357]0/etnSUT6LB053zz4pvNAH+JMSQ3nf3nw2AjS7nNRic=[/tex]的形式，这里[tex=4.429x1.357]1BE0fIYjYXhsL6588ILVDagEkHDl2hQhQQaLAIKpkNM=[/tex].
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数首一多项式且无实数根, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以表示为两个实系数多项式的平方和.