• 2022-06-19
    设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次有理系数多项式, 若 [tex=2.5x1.071]UmcDBu0nDM7wGDdKxgvEEg==[/tex], 求证: [tex=1.429x1.429]CHT4LSgbMdocanZXSUSLsA==[/tex] 必不是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根.
  • 由 Eisenstein 判别法可知, [tex=2.286x1.357]LP4HQt7eL4nZx7KP/59SEQ==[/tex] 在 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 上不可约, 从而它是 [tex=1.429x1.429]CHT4LSgbMdocanZXSUSLsA==[/tex] 的极小多项式. 若 [tex=1.429x1.429]CHT4LSgbMdocanZXSUSLsA==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根, 则由极小多项式的基本性质可得 [tex=5.5x1.571]aSNhkIECuTBW1rsK84DyqPAsZCTw/22vOQXpsVMBwhKgLUoEWF+NFhotcSfawyY8[/tex], 但 [tex=6.786x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe/z3erKzgtea2Kj1egqNd6U8=[/tex], 矛盾.

    举一反三

    内容

    • 0

      设 [tex=7.0x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe//c6IMPZUVOFpV1w6AFY37yZBbmsEpgEGwBCuQIfVWvu[/tex]若 [tex=4.357x1.429]856Pl9HNlDstK+TaTvDo/aRkfMjkLpXvReEf/pIBn4s=[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 重根.

    • 1

      设非零的实系数多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]满足[tex=5.857x1.571]xuo/caF7g1JxzO9tAsH5V+Z5aGTPk3h4SrnQbNH+GYU=[/tex],求多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]。

    • 2

      证明: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次最佳一致逼近多项式也是它的插值多项式.

    • 3

      设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于 1 的奇数次有理系数多项式且它在有理数域上不 可约, 求证: 若 [tex=2.357x1.0]7fK/cq1TxJ2b5g4iFumlWA==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在复数域内两个不同的根, 则 [tex=2.643x1.143]+j6YIiBK64dOtAI2TJqlMQ==[/tex] 必不是有理数.

    • 4

      设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个不同的特征值,若 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 且 [tex=3.857x1.0]ooePFz0xjtusf6vpqQWa8A==[/tex], 求证: 存在次数不超过 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex], 使 [tex=3.857x1.357]XcfmjFeCm4NAC3RIoBAlfg==[/tex]