设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是特征不等于[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]的域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中一个次数大于[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果没有重因式，那么[tex=6.714x1.429]agOHETojOlZCoyhdVrXCurKgxoSsUDBvWom9rX/vrEUqRcbBFMqOxSGD5IEHUHnV[/tex]或者[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]有一个单因式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]使得[tex=3.429x1.429]T7OKF7IzhV1qnxTFOF/QIvhBnCVn9INMX5QO7Ppjn10=[/tex]。
举一反三
- 设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是特征为[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]的域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中一个次数大于0的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果没有重因式，那么[tex=6.714x1.429]KDyX0boGZOlM+etbZfPoiiQiLF0IBxqLIx1hRl0QePRkiq019M1EkAUH7K5K2Mxp[/tex]。
- 设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是一个域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，一个次数大于0的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果满足[tex=6.714x1.429]KDyX0boGZOlM+etbZfPoiiQiLF0IBxqLIx1hRl0QePRkiq019M1EkAUH7K5K2Mxp[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]没有重因式。
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个域，不可约多项式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的一个[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]UNYqr1Y7cmjujB4PZlbJKGjljFXv8xgmLBe4lI/viUA=[/tex]，证明：如果[tex=2.0x1.0]I+WjrKrHzNdTmjSfaumyTg==[/tex][tex=2.571x1.286]YFrmx6WguXFLUbvehK/2dw==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的至少[tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex]重因式，其中当[tex=2.0x1.0]I+WjrKrHzNdTmjSfaumyTg==[/tex][tex=3.0x1.357]hiwEv4SSud+Aw+2YbJ9H+Q==[/tex]且[tex=3.929x1.286]klWw5QOvNNuhJ7QWWlJYOMvxfeLl6rBxXZNd82OhrAE=[/tex]，时 ，[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的[tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex]重因式；当[tex=4.071x1.357]i+DVPOZZfbtwzlk7qK4ILmKbgMXKn22ot+moQ6XJOvE=[/tex]或[tex=3.429x1.429]T7OKF7IzhV1qnxTFOF/QIvhBnCVn9INMX5QO7Ppjn10=[/tex]时，[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的至少[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]重因式。