证明素数阶群一定是循环群。
证明: 设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个阶数为素数 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 的群，由于[tex=2.357x1.214]VWa3KQZwhI2cYeTHUYW09g==[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中除单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 外至少还有一个元[tex=2.357x1.214]+Mhp6WyxCgIGc6REITkfNg==[/tex], 可知 [tex=2.929x1.357]3va26BWdVPiGRvE+q5aRFA==[/tex]。由 Lagrange 定理 的推论得: [tex=1.143x1.357]KWfZoVawqMxFoNS+6yF/0w==[/tex] 整除群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的阶 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex], 由于 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是素数，只有 [tex=2.429x1.357]3es3nq8YVD/RAjO+IlA/PA==[/tex] 或 [tex=0.571x1.0]8Zvs4k1E3PJv6bLQN1OWcg==[/tex] 所以， [tex=2.429x1.357]BZo0WKOWFbhYa9/hYgAWag==[/tex] 即由元素 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 生成的子群 [tex=1.357x1.357]9AF2UeeHBFR9WhJN3K2/3w==[/tex] 包含 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 个元素，从而得 [tex=2.929x1.357]Z01ztd2EGtrzoIkhlJBWBw==[/tex], 证得 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是一个循环群。
举一反三
内容
- 0
证明: 85 阶的群是循环群.
- 1
证明：在同构意义下，只有两个 4 阶群，其中一个是循环群，另一个是非循环交换群.
- 2
循环群一定是有限群()。
- 3
设[tex=0.571x1.0]8Zvs4k1E3PJv6bLQN1OWcg==[/tex]，[tex=0.5x1.0]BwbMcfFB7+ux6m5GcvMVvA==[/tex]都是素数，[tex=2.286x1.071]bGsEjrC6qqEk3r8qGzYGDQ==[/tex]，[tex=3.857x1.357]UjYumzESPMckI7MOGq1vOg==[/tex] ，证明[tex=1.0x1.0]G+ERgoWRxeowbOaR7/sBZg==[/tex]阶群一定是循环群。
- 4
证明:15 阶交换群必为循环群.