设[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是[tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex]平面上任意一条不经过[tex=3.786x1.214]oxF28Wdoj7wT+iff3GUttA==[/tex]的正向(分段光滑)简单闭曲线,试就 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的各种情况计算积分[tex=7.714x2.714]w/egYBeYMXVlvIJVwtpCJGmhwz/bu7yJ4vMkOKBB5V92wkmQa/qgWE2rVs73Qn4CX7JUJQfSvI1++2BgHY9u8w==[/tex]

2022-06-19

设[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是[tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex]平面上任意一条不经过[tex=3.786x1.214]oxF28Wdoj7wT+iff3GUttA==[/tex]的正向(分段光滑)简单闭曲线,试就 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的各种情况计算积分[tex=7.714x2.714]w/egYBeYMXVlvIJVwtpCJGmhwz/bu7yJ4vMkOKBB5V92wkmQa/qgWE2rVs73Qn4CX7JUJQfSvI1++2BgHY9u8w==[/tex]

答案：

解 函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内的奇点个数, 因 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的不同情况而异.设[tex=4.714x1.357]cIePpzHHQsB72UEcaKJzKQ==[/tex],在圆环域内展开[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]为洛朗级数:[tex=22.0x8.5]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr9dj8kMQKkWJPh0LlZfql49QQLiUZa+Jmyq2fFchHVDrAnQCas5eSoQQ8N7TOM/8Crfg3SYokN24iYxwgl5ZRI8eKMP07wS0FoXG9AtIWF4eQKrFb2YOTzPY66Nz4a/MUUy2KiNYA2N3IauaxsUAMoFXEhBFCSeZdgAYR6fRVOLddaaTBJr0yIICAmEGxg6GTU2YLVQNvsNguheLeLnVjpUaeyGkm6i88xfxtUs4YLlplGhnKhd5gcYs8+/mQLB3RPQ2x3lDoUVx2MMfWcGhtNDvCcriHnDnLo78zcVxKYc6ph5MwUYO68sqKeW5Jt1vaPH3cTakf+exnk73p807lWzozM8Vkh5Jp6SgQHs7sv83[/tex]因此,若[tex=2.357x1.0]iYbK/m2HPL4SyxgIH2UTBA==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]奇点,则[tex=10.429x1.357]c8f8pYOWcLRchWEduA0fr+1VvoLKFkQrgJ/7pa9yTw62usR5rvG+EPrhnZl+cZEm[/tex]又若[tex=2.357x1.0]DiJR/9DW631uuahYoMJyLg==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内,则就是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的一阶极点. 因此，[tex=16.929x2.429]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83yq191tMTNC81o7ILhTqrwNT+ywJg0/wHiWVSiqIo7d3ycOtis2QocV++SOnUxlprOCpJaKDkSAWIdr0UmHrR+8Xl3itkS89FRsszFbQX/Zf5qHZOdtCn4UVI0RHU97PAw==[/tex](1) 若[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内不含 [tex=3.786x1.214]oxF28Wdoj7wT+iff3GUttA==[/tex],则[tex=1.786x1.0]5FNH/Hi/HYt84/hOOPhSjQ==[/tex](2) 若[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内只含[tex=2.357x1.0]iYbK/m2HPL4SyxgIH2UTBA==[/tex],不含[tex=2.357x1.0]DiJR/9DW631uuahYoMJyLg==[/tex]则 [tex=2.857x1.143]5Rw/VtkWufJBdp5qii/YMfjoxp2qpw6Ux5zl0TM4/pI=[/tex].(3) 若[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内不含[tex=2.357x1.0]iYbK/m2HPL4SyxgIH2UTBA==[/tex]只含[tex=2.357x1.0]DiJR/9DW631uuahYoMJyLg==[/tex],则 [tex=4.429x1.0]F+x0kTJLxfaaI+qZMCUTKPmCf3LPxtLCr7JwzBYyFGI=[/tex].(4) 若 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内含[tex=2.357x1.0]iYbK/m2HPL4SyxgIH2UTBA==[/tex] 和 [tex=2.357x1.0]DiJR/9DW631uuahYoMJyLg==[/tex]则 [tex=7.857x1.357]F+x0kTJLxfaaI+qZMCUTKDUNkj6dfWtJyTXD21ZCV+3H1IEnv2JQyZMfJbLvX5Fl[/tex]

举一反三

内容

0
设函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在复平面内解析, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是复平面内不经过点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的任意简单闭曲线,试积分 [tex=5.143x2.643]5LDk/yOY52HtPhtqLBJc/c7F0YKcc4E1SH1qsTtrUBEqn0azw8Dh7gEPd8tPXaS3[/tex] 的值:
1
计算积分 [tex=5.5x2.643]J08/PMrDO5oQwxfxVo5wXADgwSXL5RwBdhXprbyqFRg=[/tex], 其中 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 为不经过点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的简单正向闭曲线, [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为整数.
2
如果函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在简单闭曲线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 及其内部解析且在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 上有 [tex=3.357x1.357]NgmJJpzN2HvpxzS47JUJGA==[/tex] 证明在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 内部 [tex=3.357x1.357]NgmJJpzN2HvpxzS47JUJGA==[/tex]
3
6个顶点11条边的所有非同构的连通的简单非平面图有[tex=2.143x2.429]iP+B62/T05A6ZTM0eeaWiQ==[/tex]个，其中有[tex=2.143x2.429]ndZSw3zT0QTOVLVdoUto1Q==[/tex]个含子图[tex=1.786x1.286]J+vVZa2YaMpc6mJBbqVvWw==[/tex]，有[tex=2.143x2.429]lmhx48evnQMhi03NovPXig==[/tex]个含与[tex=1.214x1.214]kFXZ1uR8GjycbJx+Ts2kyQ==[/tex]同胚的子图。供选择的答案[tex=3.071x1.214]3KinXFh3SXhZ7nIe1y9KEV6aadxhhJWeEy6Dij1iObdMUZkY6ZA5J2dVVjPSuhEf[/tex]：(1) 1 ;(2) 2 ;(3) 3 ; (4) 4 ;(5) 5 ;(6) 6 ; (7) 7 ; (8) 8 。
4
勒让德(Legendre)多项式止[p=align:center][tex=11.857x2.429]M8M2JoY6uFwEOxgbhAC1BG1Witm6d2HlI9Jh8qntzcN6msf0QE0o9mXxAAjui2ZTGublf2y+oZyIAzQTwEExJjQCZ/K3zOLMMBBaZiNzYplsOMtFFIk5D3FWJiEXS3TeZtJwVP4qKz8FxwWVNDj3ZQ==[/tex]定义,利用高阶导数的柯西积分公式证明[p=align:center][tex=12.214x3.571]M8M2JoY6uFwEOxgbhAC1BIJRdRLrqCRpQCAdRrF638IP0PlTkrrlcv7JqY7gmI5aCM7KuCeIDGvJ0PXm5gp1Q0kDROClHhXlWYpu0AmZASqOsP2OrehUMhQQJfCT94heoiCcNJYeTWru45Q/Ttrebx3j9fbwGhjgF0zug4nOzms=[/tex]其中 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 是复平面 [tex=0.643x1.0]VOBNLpsQXjZH3ekqsF7cCw==[/tex]上的简单闭曲线, [tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex] 在 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的内部.