试证 :[tex=4.429x2.357]XoYHT6PR+VkMzwr19bEBpeLkcVl0JVXxwvn+vU0q9YU=[/tex]是在不包含原点的复平面所成的区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内的调和函数 ;并求一个以[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]为实部的解析函数[tex=4.643x1.357]LogYAzAvCq1eGBWwADRiTLdYfuRR+k7422qRR/al9uU=[/tex].

2022-06-19

试证 :[tex=4.429x2.357]XoYHT6PR+VkMzwr19bEBpeLkcVl0JVXxwvn+vU0q9YU=[/tex]是在不包含原点的复平面所成的区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内的调和函数 ;并求一个以[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]为实部的解析函数[tex=4.643x1.357]LogYAzAvCq1eGBWwADRiTLdYfuRR+k7422qRR/al9uU=[/tex].

答案：

证 先证明[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]是调和函数.[tex=24.357x2.857]KAdy6xnqH5FJdNEzNPI4jRNOUACx0TB9+OOVdvb0+ZuQpFpW2gcGZW2s5aFvOSCV/fJi4B5ERtOsiqxpQ96ycGq6Iza8hcqfLaoeiKTb34H+9fKbzJE7A63WFVmhbkCaK5VjxVWD1q1rXccDT4euWYWm+LkNrFnzjWPlFnUxuEevCICPSCymGZFjubx9GHbuBPzvUbhfkbt+iuPAHc72x+TZnaBN+LgZbnvclByENnQiRzCKtgCPpue1QtAd/SbU[/tex][tex=24.5x2.857]LmNy4p2nfNRhf4CjyPu6hodsfpW28hfcDw9C3VH7sI9eKr0c9F6pQhejk9wT5JoVca0oi3EA4+VuA24dZredB+cHJKnUxr64KCInliijmhry6R9//DuOUhZFIyuJnjG1BtlmqdjqjYEDRjGEV+/5g3k/mgRjF80vEJu0hJTDy3X7E7s9yuBXY4VZIvHVkayXHaW3AdUYfXUSwTGjarzHqx70MxwkLS4ev3mFnG+irP+X9hhLBgUzkUkib48ftTTF[/tex]显然, 当[tex=5.714x1.286]QixxVf+qmOeokUUvu/nUVcLz+iPrPg4FUqDcddYQwZs=[/tex]时 , [tex=0.643x0.786]QJxUxhssyKBmvelFWUbYJA==[/tex]的二阶偏导数均连续,且满足拉普拉斯方程,所以在不包含原点的复平面所成的区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]是调和函数.下面来求一个解析函数 [tex=4.643x1.357]LogYAzAvCq1eGBWwADRiTLdYfuRR+k7422qRR/al9uU=[/tex].解一( 用偏积分法 )    因为[tex=2.643x1.071]4ujB2jhBIFgdIcFBFukbCg==[/tex],所以[tex=6.714x2.714]QbTFvz4+E8aHDHmTfhXfXRMRgIdEw7CHhVlNs28i0K1R7bOn7sI0VUj5rlmy/8HQPim0l21n1HAiqwtv6/yJvA==[/tex]从而[tex=15.214x2.786]QZ7AKZcxsKcYMhedKyHIB6ZYDvf1SsM10PiFzdXHrIVNubRxYM8+Lj8OfeAKVZkyGO2x6gQyr8A0haVEq19QLq1B4H/Nl6aPlDKcD2CVVnY+yJ9XzN3dhm/BZPvoD5Rsd81TW4inKOpQ9wZtAOnN/g==[/tex]由此得[tex=18.357x2.857]4DUgWNClBkVahbPv5rPfdyJQ0jtCxECcgpsUyTMeFvnxTqpyY9spIwdggIJi9kdEtj9K8pngouG1uX1nhaesnElp+6Xea9yrfc2F697EEFoAMHi79oXxhN2QAuwuz7v7iGOEdD8z+/wp79JioEMgRxZj8VNNtTXpynBVgXAs2sKUxC1AgLn6DPhFDnm9Df1P[/tex]故[tex=7.143x1.429]09K1HqLRD2fPPoiIPjCVOBuahN3EKC/bocmRAmBK+vs=[/tex]因此[tex=6.0x2.357]qsgg/KnNoW3TU3i9dvni7y4yG3SThrlYB594Uh2+eMA=[/tex]而[tex=14.929x5.357]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtryYoMlNkPy+ra5dFPfs2SWGSFyGfHqOBeVoROrPuTUQuz+ZMK7KIp8f0WBExgOb+fNnU/0aEQYdScgPwhZQi0PsSo2E/5HJ9nYebRxaAqMoWVl3+UtUm/Y90ATII2ohQi86mlSd7oNM1pN8hAqsMqyMrx+XnRRuknGyFamGMDSgykAvvHoTy3WYwCxdehFpk1cUPUDBdmqqM7GvUa+vcXTTFzfHOK0+Eqa9D3q/wi/GtBBM0nGjgtGgBxtK7tA0SbkszqKEDwabmzW7fI1NJoY7/dBsN2BAqrmO92qb+/0bL[/tex]解二(用线积分法)取 [tex=2.857x1.357]EZ1YLh+FMEcQAjNnWDBjTOIsNztTlNE8eiBgVShrvuw=[/tex] 为, 积分[tex=2.071x1.357]DtHrLjySmi2Czou/zUCQlA==[/tex]路线如图2.4,就有[img=517x409]1785d9e84cf0e3e.png[/img][tex=18.571x9.357]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[/tex][tex=5.5x2.357]pNBP/MHyz8lifAXoRxZv+l84rUtzWmLGXre1eQwEAIA=[/tex]以下做法与解一同. 注: 上面求[tex=0.5x0.786]pmD1JbahT9zMRAbBNi045A==[/tex]的方法,理论上只适于[tex=2.429x1.071]UE5K5T8FUdgYwuEY3OJARQ==[/tex]的情形(否则在积分过 程中[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]要取得零值,而这时被积函数无意义).但可以直接验证所求得的[tex=6.0x2.357]qsgg/KnNoW3TU3i9dvni7+nuGoDfds3ddsogCmTYqxw=[/tex](在除去原点所得区域内)符合题中要求. 最后再指出一点:既然任给一个调和函数[tex=2.786x1.357]wiwGc5nPSdS4rz0XoAmPNg==[/tex],我们一定能够多 找到一个以[tex=2.786x1.357]wiwGc5nPSdS4rz0XoAmPNg==[/tex]为实部或虚部的解析函数,而解析函数的实部与虚部的任意阶偏导数是调和函数. 因此,[tex=2.786x1.357]wiwGc5nPSdS4rz0XoAmPNg==[/tex]的任意阶偏导数也是调和函数. 换句话说,调和函数的任意阶偏导数仍然是调和函数.

举一反三

内容

0
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析,并满足下列条件之一,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]必为常数. [tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内解析;
1
如果函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析，且满足下列条件,求证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内必为常数.[tex=3.571x1.357]L/iSyHQqp/Mxc02EXe9DWJ9wNabDccWBlJcMazy6+Gg=[/tex] 为实值函数.
2
若函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析, 且满足[tex=1.786x1.571]tOYaARFCYk8pvlpI2d4l8ZEZPmxuzOJDEH7zTRGNOGc=[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析,试证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 必为常数.
3
如果函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析，且满足下列条件,求证 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内必为常数.[tex=3.571x1.571]OxM5Cix8e9Z6ZldjCNq+QyIOt4bpDM0yHIRmty4BB4wqWorfa5xoOi+R0I+/Gxfr[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析;
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若函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在区域 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 内解析且 [tex=2.357x1.357]KEiMIAvyrkZGZKzIEmVEbA==[/tex] 在[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内为常数,试证[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]内必为常数 .